Problème 1 du concours général de 2016

[tcdovdi14]

Bonjour,

M'étant inscrit au concours général de maths 2018, je commence d'ores et déjà à m'entraîner sur les sujets des années précédentes. En ce moment je traie le sujet de 2016 et je bloque à cette question:
"Montrer que, pour tout , on a ."

Pour le moment, je me suis ramené à un polynôme du 3eme degrés (m^me si je pense que ce n'est pas la bonne méthode !):


Mais il me semble qu'il n'et pas chose aisé de trouver les racines au 3eme degrés ! Avec Wolfram Mathematica, j'ai trouver comme solution:

J'ai beau utiliser l'entrée WolframAlpha, je ne comprends pas comment aboutir à ce genre de résultat !
J'ai aussi demandé à mon prof et il m'a dit que les racines de polynôme de degrés 3 sont très dures à trouver.

Je cherche donc un moyen de répondre à cette question.

Après, si vous avez un corrigé de ce sujet, ça m'interesse !

Merci

[Ben314]

.....

[pascal16]

le code latex derrière la réponse devient monstrueux.

[aviateur]

Bonjour
Tu aurai pu aussi finir ton exercice simplement (i.e sans chercher à calculer les racines de ).
En effet est p un polynôme de degré 3. Donc la dérivée est un pol. de degré 2 ayant pour racines

En particulier est plus petit que 5 donc
x>5 implique p(x)>p(5)=127>0.......

[Ben314]

A mon avis, c'est quand même bien plus naturel de "factoriser" les cubes.
Et si on ne veut pas résoudre l'équation mais seulement vérifier que ça marche pour il suffit d'écrire que , pour tout on a

puis que

[Pseuda]

Bonsoir,

Et pourquoi pas ça ?
(la fonction cube étant croissante sur R)



ce qui est vérifié pour .

A condition qu'on ait droit à la calculette au concours général.