Dm fonctions suites

[DragonArgentetOr]

Bonjour à tous j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, j'ai fais les 3 premières questions mais je bloque sur la 4ème, j'aimerais votre aide pour le terminer, en voici l'énoncé:

1) Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;3],
(e^-x) - x +3>0.

2) f est la fonction définie sur [0;+00[ par:
f(x)= (x+2(e^x))/(1+(e^x))
Voici une copie de l'écran d'un logiciel de calcul formel utilisé pour obtenir la dérivée de la fonction f.

((-exp(x))*x+3*exp(x)+1)/(exp(x)+1)²

a) Justifier, en utilisant le résultat affiché, que pour tout x>=0, f'(x) a le même signe que (e^-x) -x +3.

b) En déduire le sens de variation de f sur [0;3].

c) Résoudre l'équation f(x)=x dans [0;+00[

d) Vérifier que pour tout x positif ou nul,
2-f(x)=(2-x) (1)/1+(e^x)

3) La suite u est définie par U0=0 et, pour tout nombre entier naturel n, Un+1= f(Un)

a) Dans un repère orthonormé, on a la courbe représsentative de la fonction f sur l'intervalle [0;3] ainsi que la droite d'équation y=x
Emettre une conjecture sur le comporement de cette suite

b) démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, 0<= Un <= Un+1 <= 2

c) Démontrer que, la suite u est convergente

4)a) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, 0<= 2-Un+1<=1/2 (2-Un) (on pourra utiliser 2.d) et 3.b))

b) En déduire, en raisonnant par récurrence, que pour tout nombre entier naturel n,
0 <= 2-Un <= (1/2)^(n-1)

c) Déterminer alors la limite de la suite u.

C'est à partir de la 3) que ça se complique:

a la 3)a) j'ai trouve que Un semblait croissante et convergente vers 2

b) On va démontrer que:
0 <= Un <= Un+1 <=2 par récurrence

U0=0
U1= f(U0)= (0+2(e^0))/(1+(e^0)) = 1
0 <= U0 <= U1 <= 2
puisque U0= 0 et U1= 1

donc 0=0<1<2. Po est vraie.

hérédité: On suppose Pn vraie pour un rang n fixé. On souhaite démontrer que Pn+1 est vraie c'est à dire que:

0 <= Un+1 <= Un+2 <= 2

étude de f(x) sur [0;3]

f'(x)= (u'v-uv')/v²
=1*(e^x)*(1+(e^x))-(x+2(e^x))*(e^x)/(1+(e^x))²
= (e^x)+3(e^x)²-x(e^x)/(1+(e^x))²

(e^x) est toujours supérieur à 0 et positif et (1+(e^x))² est toujours positif

donc on s'intéressera uniquement au signe de -xe^x car (e^x)+3(e^x)²>0 et (1+(e^x))² >0

d'où le tableau de signes suivant :

x 0 3
f'(x) +
f(x) croissante


Donc Pn+1 est vraie.

c) Comme Un <= Un+1: Un est croissante:
D'après le théorème de convergence monotone Un converge.

Je ne sais pas si tout est bon jusque là mais en revanche à partir de la 4)a) je bloque, je ne vois pas comment faire, je vous remercie d'avance pour vos réponses et pour votre aide pour faire cette/ces questions. Cordialement.

[infernaleur]

Salut,

pour la 4)a en utilisant 3)b) tu ne devrais pas avoir de mal a montrer que .

Ensuite pour montrer que , on va utiliser la 2)d).
On sait que : pour tout x positif ou nul
et il suffit de remarquer que pour tout x positif ou nul
Donc maintenant à toi d'essayer de montrer que .

Et après comme ta suite (Un) est toujours positif (question 3)b)) on pourra "remplacer" x par Un ce qui termineras cette question.