Suite et récurrence

[Hm50]

Bonjour à tous,j'ai un DM à rendre jeudi avec un unique exercice dans lequel plusieurs questions notamment sur la récurrence qui me bloquent:
Soit d'la fonction définie sur ]0;+oo[ par
F(x)= (1/2)(x+(2/x))
1a. Dresser le tableau de variation de la fonction sur son ensemble de définition et donner ses limites à ses bornes.
J'ai trouvé croissant avec aucune valeur d'annulation et lim0=0 et lim+oo=+oo.

2.aSuite Un: U0=2 et pour tout n : U+1=f(Un).
Démontrer par récurrence que tout tout n appartenant à N, Un appartient à [racine de 2;2]
B. Démontrer que la suite est croissante
C. Démontrer que la suite est convergente vers d'une limite l que l'on déterminera.
3.a Démontrer que pour tout n appartenant à N, (Un+1 - racine de 2) est strictment inferieur a ((1/2)(Un-racine de 2))
B. En déduire par récurrence que pour tout n appartenant à N,
(Un - racine de 2) est inferieur ou égale à ((1/2)^n (2 - racine de 2)
C. Retrouver la limite de la suite
D. Déterminer un rang a partir duquel la suite Un approche racine de 2 avec une précision de 10 décimales.


Je bloque a partir de la 3a. .Sinon avant j'ai plutôt bien réussi. Merci pour tout aide.

[nodgim]

Comment as tu trouvé que la fonction est toujours croissante ?

[Hm50]

En calculant la dérivée qui est 1/2 - (1/x^2).

[Hm50]

Pardon,en fait c'est décroissante sur ]0;+racine de 2] puis croissante sur [racine de 2;+oo[. Autnat pour moi .

[annick]

Bonjour,

ça c'est juste.