Parties ouvertes, fermés, bornées

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
MoonX
Membre Naturel
Messages: 85
Enregistré le: 31 Oct 2016, 00:39

Parties ouvertes, fermés, bornées

par MoonX » 17 Nov 2017, 20:17

Bonjour,

J'ai un exercice sur lequel je bloque. On me demande de déterminer si les parties suivantes sont ouvertes fermées, bornées :




Comme ça intuitivement, je dirais que A est bornée et B non bornée, mais je n'ai aucune idée concernant comment le montrer ni comment déterminer si ce sont des ouverts ou des fermés.

Pourriez vous m'aider ?

Je vous remercie par avance !



aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par aviateur » 17 Nov 2017, 21:19

Bonjour
Effectivement A est borné.
N(x,y)=x^+xy+y^2 est une norme sur R^2. Donc A elle la boule ouverte de rayon 1 pourcette norme.

aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par aviateur » 17 Nov 2017, 21:22

Rebonjour
Pour B, oui B n'est pas borné. Si tu poses z=x+iy (x,y réels)
alors Ainsi
ssi
On voit que tout complexe de la forme x(1+i) est dans B....

B est fermé. Pour le justifier il faut voir B comme l'image réciproque de (qui est un fermé) parla fonction continue f définie par

MoonX
Membre Naturel
Messages: 85
Enregistré le: 31 Oct 2016, 00:39

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par MoonX » 26 Nov 2017, 19:29

Bonjour,

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt.
Merci beaucoup pour ces réponses.

Êtes vous sûr que N(x,y)=x^+xy+y^2 est une norme sur R^2 ? J'ai essayer de montrer cela, mais pour l'inégalité triangulaire il me semble que ça ne marche pas. (j'ai peut être fais des erreurs de calculs ?)

Comment pourrais-je sinon montrer que A est ouvert borné autrement ?

Avatar de l’utilisateur
capitaine nuggets
Modérateur
Messages: 3910
Enregistré le: 14 Juil 2012, 00:57
Localisation: nulle part presque partout

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par capitaine nuggets » 26 Nov 2017, 20:03

Salut !

Tu peux montrer que peut s'écrire comme image réciproque d'un ouvert par une application continue.
désigne "l'intérieur" d'une ellipse donc un domaine bien borné à priori. Mais pour le prouver, tu peux par exemple montrer que est inclus dans la boule de centre et rayon pour la norme euclidienne , c'est-à-dire pour tout , . Tu auras alors .

;)
- Merci de lire attentivement le règlement du forum.
- Comment écrire de belles formules mathématiques.
- Comment joindre une image ou un scan.



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par Ben314 » 26 Nov 2017, 20:05

Salut,
Ne jamais, jamais, jamais oublier le cours du début de Lycée sur la "forme canonique" d'un trinome du second degré : ça sert tout le temps (et il vaut 1000 fois mieux se rappeler de ça que du "Delta=b^2-4ac" qu'on retrouve en 10 seconde si on se rappelle de la forme canonique.

Là, , c'est le début du carré de et c'est en fait égal à donc

Ce qui implique évidement que et donc que
Ca implique aussi que donc
Donc A est borné.

Concernant le fait que A est ouvert, soit tu a déjà vu que l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est aussi un ouvert et tu utilise ça vu que c'est de loin le plus court.
Soit tu ne l'a pas vu et le plus simple est sans doute de montrer que le complémentaire de A est fermé en utilisant la caractérisation séquentielle (i.e. avec des suites) des fermés.
On pourrait aussi le faire directement en montrant que, quelque soit (x,y) dans A, il existe r>0 tel que la boule de centre (x,y) et de rayon r est contenu dans A, mais au niveau calculs, ça risque d'être (pas mal) plus long.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MoonX
Membre Naturel
Messages: 85
Enregistré le: 31 Oct 2016, 00:39

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par MoonX » 26 Nov 2017, 20:19

Merci pour vos réponses.

L'application que j'ai trouvé, (en justifiant au préalable qu'elle est à valeur dans R+, sinon ça bloque) c'est f:(x,y) -> x^+xy+y^2. A est donc l'image réciproque de l'ouvert [0;1[ dans R^+.
(Dites moi si je me trompe..)

Enfin, les deux méthodes sont intéressantes. Savoir que c'est une ellipse c'est un plus qui permet de résoudre des exercices bien plus rapidement. Mais malheureusement, les ellipses ne sont (n'étaient) plus au programme (du moins sur ma période 1ère S -> MP). J'ai fais une petite recherche, mais je ne vois pas comment retrouver le fait que ce soit une ellipse ? J'ai trouvé comme formule générale de l'ellipse : . Je suppose que cette équation correspond à l'ellipse toute droite, alors que celle de A est oblique.
Pour la deuxième méthode, j'avoue avoir totalement oublié ! Merci du rappel, c'est vrai que c'est souvent utile.

aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par aviateur » 26 Nov 2017, 20:47

Bonjour
Pour revenir à N(x,y) est une norme (au carré): c'est un résultat classique d'algèbre car
avec dont les 2 valeurs propres sont >0 grâce au théorème de Gerschgorin-Hadamard.

Donc pour moi la réponse à la question 1. est bien immédiate et je ne fais pas de calcul sauf (1-1/2=1/2)

MoonX
Membre Naturel
Messages: 85
Enregistré le: 31 Oct 2016, 00:39

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par MoonX » 26 Nov 2017, 20:56

D'accord, je n'ai pas fais les valeurs propres et tout ce qui est lié pour l'instant, je ne comprend donc pas trop. Mais je retournerai à cet exercice lorsque je les aurais vu en cours !

aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Parties ouvertes, fermés, bornées

par aviateur » 26 Nov 2017, 20:59

Oui en effet tu peux mettre cela de côté. Cela peut servir plus tard. De toute façon c'est bien de voir différentes solutions.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 59 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite