Arithmétique

[mathematixe]

Bonjour, pouvez vous m'aider sur cette question
Soit m,n dans N* premiers entre eux et d divise (mn), montrer qu'il existe un unique couple d1,d2 (d1 dans Div(m) et d2 dans Div(n)) tels que d=d1d2. J'ai déjà prouvé que d1 et d2 sont premiers entre eux si m,n sont premiers mais je ne sais pas comment continuer ..

[beagle]

ce serait pas par l'unicité du PGCD?
d1 n'est pas PGCD de m et d ?
d2 PGCD de n et d

[mathematixe]

Aucune information sur ça

[beagle]

Aucune information sur ça

j'entends bien,
mais ce n'est pas ce qu'on aimerait montrer?

[nodgim]

Je ne comprends même pas la question de cet unique couple.....
Et si un diviseur est distinct de 1, alors d1 ou d2 n'existe pas forcément.

[mathematixe]

Je n'ai pas plus d'info, la question est posée comme ça :
Soit m, n dans N* deux entiers premiers entre eux et d dans Div(mn). Montrer qu'il existe un unique couple (d1,d2) dans Div(m) x Div(n) tels que d = d1d2.

[nodgim]

C'est vrai que s'il y avait un diviseur premier p' commun à m et n, alors d pourrait s'écrire comme le produit (d'1*p', d'2) ou (d'1, d'2*p').

Par exemple les entiers m = 2*3*11 et n= 2*5*7 ont leur produit divisible par d=2*3*5.
2 couples possibles : (2*3, 5) ou (3, 2*5)

Double écriture impossible avec m et n premiers entre eux.

[mathematixe]

Exemple avec 5x7 = 35
5 et 7 premiers entre eux, diviseurs de 35 sont 1, 5, 7, 35.
Les diviseurs de 5 sont 1, 5. Les diviseurs de 7 sont 1, 7.
1=1x1. 5=5x1. 7=1x7. 35=7x5.

[Ben314]

Salut

Soit m,n dans N* premiers entre eux et d divise (mn), montrer qu'il existe un unique couple d1,d2 (d1 dans Div(m) et d2 dans Div(n)) tels que d=d1d2. J'ai déjà prouvé que d1 et d2 sont premiers entre eux si m,n sont premiers mais je ne sais pas comment continuer ..

Perso, l'énoncé me semble on ne peut plus clair (et le résultat est effectivement juste).
Par contre le truc que je comprend vraiment, mais alors vraiment pas, c'est comment diable tu as pu prouver "que d1 et d2 sont premiers entre eux" sans avoir montré... qu'ils existaient ?
Honnêtement, le gars qui te dit je sais pas si les voisins on un chien ou pas, mais je sais que c'est un teckel, tu en pense quoi au niveau logique ?

Bon, sinon, comme d'habitude, pour montrer qu'un truc "existe est et unique", ben faut procéder en deux temps :
1) Existence : prend d1=pgcd(d,m) et d2=pgcd(d,n) puis vérifie que tout est O.K. (3 trucs à vérifier)
2) Unicité : On suppose que d=d1d2=d'1d'2 avec d1 et d'1 qui divisent m et d2 et d'2 qui divisent n.
Montre que d1 divise d'1 et conclue que d1=d'1 et d2=d'2.

[mathematixe]

Oui désolé je n'ai pas été clair dans ce que j'ai dit, j'avais prouvé que si m et n sont premiers, alors tous diviseurs de m sont premiers avec les diviseurs de n.