FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

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Ordimac
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FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 12:47

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, parlons de maths. Je m'entraîne sur des types Bac ( dérivabilité et continuité ) pour me préparer au bac ( mode machine 8-) ). Alors, je veux faire appel aux grands maîtres des mathématiques pour m'expliquer un exercice que je ne comprends pas!!!!

Voici l'énoncé :

Soit la courbe C, représentative de la fonction f définie sur [0;2] par f(x)=x racine(x(2-x)).

1)a. D'après le graphique, la fonction f semble-t-elle continue sur [0;2] ?
b. Justifier votre conjecture.

2)a. D'après le graphique, la fonction f semble-t-elle dérivable en 0 ? en 2 ?
b. Démontrer vos conjectures.

3) Dresser le tableau de variation complet de f.

Voici mes réponses et pistes de recherche :

1)a. La courbe représentative de f (C) sur [0;2] a un tracé qui s'est fait "sans lever le crayon". Donc d'après le graphique, f est continue sur [0;2].
b. Je ne sais pas comment justifier mathématiquement parlant.

2)a. Ici, gros problème. Je ne comprends pas comment on peut savoir graphiquement si une fonction est dérivable ou non en un réel.
b. Là, je sais qu'il faut faire le calcul du taux et de sa limite, mais je ne sais pas comment conclure.

3) Pour cette question j'ai calculé la dérivée. J'ai trouvé finalement que :
f'(x)=x(2-x) + (x-x2)/x(2-x)
Je me suis ensuite dit que, puisque x(2-x) est toujours positif, le signe de f'(x) dépendait de celui de x-x2.
Mais je dois avoir commis une erreur puisque les valeurs qui annulent x-x2 sont 0 et 1, et ça ne correspond pas au graphique...
Modifié en dernier par Ordimac le 23 Nov 2017, 13:28, modifié 1 fois.



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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 13:02

Oups! c'est f (x) = f(x)=x racine (x(2-x)).

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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Lostounet » 23 Nov 2017, 13:10

Ordimac a écrit:Bonjour à tous ! Aujourd'hui, parlons de maths. Je m'entraîne sur des types Bac ( dérivabilité et continuité ) pour me préparer au bac ( mode machine 8-) ). Alors, je veux faire appel aux grands maîtres des mathématiques pour m'expliquer un exercice que je ne comprends pas!!!!

Voici l'énoncé :

Soit la courbe C, représentative de la fonction f définie sur [0;2] par f(x)=xx(2-x).

1)a. D'après le graphique, la fonction f semble-t-elle continue sur [0;2] ?
b. Justifier votre conjecture.

2)a. D'après le graphique, la fonction f semble-t-elle dérivable en 0 ? en 2 ?
b. Démontrer vos conjectures.

3) Dresser le tableau de variation complet de f.

Voici mes réponses et pistes de recherche :

1)a. La courbe représentative de f (C) sur [0;2] a un tracé qui s'est fait "sans lever le crayon". Donc d'après le graphique, f est continue sur [0;2].
b. Je ne sais pas comment justifier mathématiquement parlant.

2)a. Ici, gros problème. Je ne comprends pas comment on peut savoir graphiquement si une fonction est dérivable ou non en un réel.
b. Là, je sais qu'il faut faire le calcul du taux et de sa limite, mais je ne sais pas comment conclure.
...


Salut,

Quand on regarde le graphe d'une fonction qui est continue effectivement il ne doit pas y avoir de "trou". Ici c'est le cas.
En général on peut justifier la continuité d'une fonction si on peut constater qu'elle est somme/produit/composée de fonctions usuelles qui sont continues.


Concernant la dérivabilité on peut dire que le graphe de la fonction doit être "doux"/"lisse" sans changement trop brutal.
Par exemple si tu traces f(x)=|x| tu vois qu'en 0 le graphe change de manière brusque.
Ou bien f(x)=racine(x) qui en 0 augmente trop vite.

Ici on peut observer ce pb en un point. Lequel?
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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 13:24

Alors, pour la 1)b), je dois justifier cette question par:

La fonction u: x ___ 2- x est continue comme fonction linéaire sur ]-00; 2] et elle est positive sur I.
La fonction racine carré est continue sur [0;+00[
La fonction g = racine(U) est donc continue sur I comme composée de fonctions continues.

Ma rédaction est elle correcte et bonne?

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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Lostounet » 23 Nov 2017, 14:15

Ordimac a écrit:Alors, pour la 1)b), je dois justifier cette question par:

La fonction u: x ___ 2- x est continue comme fonction linéaire sur ]-00; 2] et elle est positive sur I.
La fonction racine carré est continue sur [0;+00[
La fonction g = racine(U) est donc continue sur I comme composée de fonctions continues.

Ma rédaction est elle correcte et bonne?


Excellente rédaction !

Après tu devrais pouvoir dire qu'on peut multiplier par racine de x car x est positif sur [0;2] puis multiplier par x.
Une autre rédaction possible aurait été d'utiliser directement la fonction polynomiale x->x(2-x). Puis la composer avec racine.

En général au lycée toutes les fonctions usuelles sont continues sur leurs domaines. Il est difficile qu'une fonction usuelle ne le soit pas à moins d'être définie par morceaux avec des problèmes de raccord.
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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 14:22

Merci pour l'aide!
Mais, le problème j'ai aucune idée pour les deux autres questions.

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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Lostounet » 23 Nov 2017, 14:25

Quand tu regardes le graphe de cette fonction... vois-tu un endroit où elle "descend trop vite" ?
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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 14:32

Oui, elle augment pour x = 0 à 1.5, puis elle descend à partir de x = 1.5 à 2.

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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Lostounet » 23 Nov 2017, 14:36

Ordimac a écrit:Oui, elle augment pour x = 0 à 1.5, puis elle descend à partir de x = 1.5 à 2.


Certes mais là tu me dis comment la courbe varie.

Pour la dérivabilité il faut regarder où (en quel point) est-ce que le graphe descend "trop rapidement". Par exemple quand x s'approche de 2, vois-tu un problème?
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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 14:39

Oui, je vois. Alors, pour la dérivabilité, je pense avoir trouvé en 2. On voit bien que la tangente est verticale, donc on peut dire que f n'est pas dérivable en 2. Aussi, en 0 on voit bien que la tangente n'est pas verticale et donc que la fonction est dérivable.

Détails:

l'accroissement f(x)/x = (x(2-x)), et que la limite est 0 donc f'(0)=0 et la tangente est donc horizontale en x=0 (la fonction est donc bien dérivable en 0).

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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Lostounet » 23 Nov 2017, 14:41

Ordimac a écrit:
Détails:

l'accroissement f(x)/x = (x(2-x)),



Où est partie la racine ? Sinon oui.
Maintenant en 2 il faut regarder ce qui se passe.
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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 14:44

La racine? C'était une erreur de frappe!! Ahh!
Par calcul, f(2) = 0. Alors, la fonction f n'est pas dérivable en 2.

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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Lostounet » 23 Nov 2017, 14:46

Ordimac a écrit:Par calcul, f(2) = 0. Alors, la fonction f n'est pas dérivable en 2.


Euh.. non.
Si une fonction s'annule en un point elle n'est pas forcément non dérivable en ce point! Déjà en 0 elle s'annule et y est dérivable.

Exemple (x-1)^2 est nulle en x=1 et est dérivable partout (en 1 inclus).

Il faut procéder avec la définition: f est dérivable en a lorsque limite lorsque h tend vers 0 de..
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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 14:51

Ok! Donc f(2)=0, mais la tangente est verticale et parallèle à l'axe des ordonnées Donc que la fonction n'est pas dérivable. C'est pour cela?

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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Lostounet » 23 Nov 2017, 14:54

Ordimac a écrit:Ok! Donc f(2)=0, mais la tangente est verticale et parallèle à l'axe des ordonnées Donc que la fonction n'est pas dérivable. C'est pour cela?


Ceci est un constat graphique... pas une preuve.
Tu l'as pourtant prouvé pour la dérivabilité en 0.

Tu t'es posé la question de voir si la limite, quand h tend vers 0, de (f(a+h)-f(a))/h existe et est finie. Comme tu regardes a=0

On a donc:( f(0+h)-f(0))/h = h*sqrt(h(2-h))/h
= h(2-h) qui tend vers une limite finie quand h tend vers 0.

Maintenant il faut regarder pour a=2
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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Ordimac » 23 Nov 2017, 15:05

Oui, je vois! Donc :

( f(2+h)-f(2))/h= (2+h) * racine((2+h)( 2-(2+h)))= 0

Alors, elle tend vers 0.

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Re: FONCTIONS (CONTINUITÉ, DÉRIVABILITÉ, ETC)

par Lostounet » 23 Nov 2017, 15:12

Ordimac a écrit:Oui, je vois! Donc :

( f(2+h)-f(2))/h= (2+h) * racine((2+h)( 2-(2+h)))= 0

Alors, elle tend vers 0.


Le calcul est faux tu as oublié le /h....
et la conclusion devrait te choquer :p on a vu une tangente verticale donc ça devrait pas faire 0.
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