Exercice de maths

[lola12968]

Et pour la 1) il faut que j'utilise Chasles?

[pascal16]

1) une réponse possible pour la 1
A'C=r vecteur A'B
la définition étant implicite avec A' des deux cotés, il faut modifier ça
soit A'C=r A'C +rCB
càd A'C(1-r) = rCB
r est différent de 1 donc
A'C = r/(1-r) CB
CA'= r/(r-1) CB

version avec repère :
soit C=B et alors A' est confondu avec C et B
soit C=/=B alors (C,CB) est une base de la droite CB, et r/(r-1) est l'unique ordonnée de A' dans cette base.

version vecteur
r/(r-1) CB est un vecteur, A' est l'unique point du plan translation de C de vecteur r/(r-1) CB

Normalement la version vecteur est inscrite dans le cours.

[lola12968]

Je vous remercie infiniment
J'aimerai votre avis sur une question du meme devoir que j'ai mentionné dans la consigne.
Il faut démontrer qu'une équation de (CC') est :
(1-p)x+y=1
Voici mon raisonnement :
y=ax+b est l'équation générale d'une droite.
La droite (CC') passe par les points C(0;1) et C'(1/1-p ; 0)
Calcul du coefficient directeur a de la droite (CC'):
a=(yC'-yC)/(xC'-xC)
a=-1/(1/1-p)
a=-(1-p)
a=-1+p
(CC'):y=(-1+p)x+b
Pour que la droite passe par le point C(0;1),il faut que les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la droite.
Soit : 1=(-1+p)*0+b
1=b
(CC'):y=(-1+p)x+1 <=> y-(-1+p)x=1 <=> y+(1-p)x=1 <=> (1-p)x+y=1
CQFD
le problème c'est que ca ne marche pas avec l'autre point (C')
Mon explication est elle incorrecte?

[pascal16]

je vais regarder, mais une précision avant
y=ax+b est l'équation réduite d'une droite càd seulement celle des fonction affines, celle de toute droite non parallèles à l'axe des ordonnées. Il manque les droites du type x=constante.
Seul C'=A ne marchera pas, et ça tombe bien, c'est justement le cas limite où p vaudrait 1.

ay + bx + c =0 b est l'équation générale d'une droite du plan

ton calcul y=(p-1)x+1 est bon.

quand x=0, on a y=1, c'est bien le point C(0;1)
quand x = 1/(1-p), on a y = (p-1)/(1-p)+1 =-1+1=0 soit le point (1/(1-p);0) qui est bien C'.
donc C et C' sont deux points de cette droite

[lola12968]

Mais es que le raisonnement et bon
Le résultat nous est donné car c'est une démonstration
Mais quand je procède au calcul avec l'autre point je ne trouve pas le même b
Comment auriez vous répondu à cette question?

[pascal16]

y=(-1+p)x+b
C' (1/(1-p);0)

soit
0 = (-1+p)*(1/(1-p))+b
0 = (-1+p)/(1-p)+b
or -1+p= -(1-p)
0=-1 +b
b=1

on retombe sir la même équation

[lola12968]

Je vous remercie pour tout
Je suis désolée de vous déranger encore mais je viens de me rendre compte en panique que j'avais oublié une question
Justifier le théorème de ceva:les droites (AA'),(BB') et (CC') sont coucourantes où parallèle si et seulement si pqr=-1
Je bloque complètement et mon devoir et pour demain
Aidez moi svp

[lola12968]

De plus,sur d'autre forum,des gens ont trouvé
(AA'): x+yr=0 
Alors que nous nous avons trouvé
(AA'): y=-1/r x

[lola12968]

?

[pascal16]

(AA'): x+yr=0
<=> yr=-x
=> (si r n'est pas nul) y=-1/r x

Alors que nous nous avons trouvé
(AA'): y=-1/r x

x+yr=0 est un version qui marche pour toute valeur de r.
cf mon post sur la différence entre équation réduite et générale

[lola12968]

Comment faire pour trouver le coefficient directeur de
(AA') +yr=0 et de (CC'):(1-p)x+y=1
?

[lola12968]

Pardon pour (AA') c'est y= x+yr=0

[pascal16]

non, c'est pas une équation réduite, c'est une relation x+yr=0

[lola12968]

Et aussi je ne vois pas notre erreur mais sur la correction de lexo ,
H( 1/q+(1-p)(1-p) ; pq/q+(1-p)(1-q)
??

[pascal16]

on a pas encore fait le système pour l'intersection des 3 droites



de la première on tire x=-ry
et on remplace la x par -ry dans les deux autres équations.
il reste deux équations avec seulement y .
Il existe une solution si ces deux équations sont équivalentes, sinon, c'est l'ensemble vide.
(on calcule avec la première l'intersection de (AA') et de (BB'), et de (AA') avec (BB'). il faut que les deux points soient les mêmes)

j'arrive à :
y(q-qr-1)=q et y(1+r(p-1))=1
q=0 ne permet pas de trouver une solution, donc c'est équivalent à
y(q-qr-1)=q et yq(1+r(p-1))=q
ces deux équation sont identiques si (q-qr-1)=q(1+r(p-1)), on développe et on trouve -1=pqr

Donc, si les droites ont un point commun, il faut -1=pqr

si les droites sont parallèles, par égalité de coefficient directeur, on arrive à 1=-qr/(q-1) et 1=r(p-1), il faut pqr=-1

Reste à remonter le système, ou à justifier un travail par équivalence pour voir si ça implique dans l'autre sens qu'elles soient concourantes ou parallèles.

[pascal16]

si pqr=-1, cette fois, tu sais que les trois sont non nuls et dépendants.
en particulier, on peut dire que r = -1/pq

dans le système :
(AA') devient : x=y/pq
(CC') et (DD') sont équivalents et on a y=+((p-1)/pq)y +1

d'où y = pq/(pq-p-1) et x= 1/ (pq-p-1)


H( 1/q+(1-p)(1-p) ; pq/q+(1-p)(1-q))
on peut vérifier que pq/(q+(1-p)(1-q))= pq/(q+1-p-q+pq))=pq/(pq-p-1), c'est bien le même point

[lola12968]

Si j'ai bien compris, H et H sont équivalent donc nous n'avons pas fais d'erreur de calcul.
Si pqr=-1 les droites sont concourantes
Mais je n'ai pas compris ta démonstration pour les droites parallèles
Comment fait sur pour obtenir les coefficients directeur des droites?

[pascal16]

je les ai mises sous la forme y = ax+b
il faut bien sur discuter de la valeur par laquelle on divise
les droites sont parallèle si elles ont le même coefficient directeur

Il y a sans doute une explication plus directe avec le système au sa remontée, mais sans plus de guidage, les calculs finissent par devenir long alors qu'on imagine une solution plus directe.

[lola12968]

Ok mais comment tu as fait pour obtenir les vecteurs directeurs des droites?

[pascal16]

astuce pour lier vecteur et coefficient directeur.

y=-1/r x a pour coefficient directeur -1/r
toute droite de coefficient directeur -1/r lui est parallèle (ou confondue).

----- le reste n'a rien à voir avec l'exo -----
on interprète le coefficient directeur par :
"quand x augment de 1, y augmente de -1/r"
donc le vecteur (1 ; -1/r) est un vecteur directeur de la droite.