Limite racine carrée

[yoyo07]

Bonsoir à tous,

Je n'arrive pas à déterminer la limite suivante :



Voilà mon raisonnement :



, car pour tout x appartenant à R, = |x|



Et je suis bloqué à partir de là... Je n'ai pas raisonné par la valeur conjugué car sinon j'aurai eu encore une forme indéterminée...

Merci pour votre aide

[capitaine nuggets]

Salut !

Ca marche pourtant bien avec la forme conjuguée :



avec

[nodgim]

Ou encore voir que (x+1)² - (x²+2x) ------> 0 quand x -----> oo

[Pseuda]

Ou encore voir que (x+1)² - (x²+2x) ------> 0 quand x -----> oo

Bonjour nodgim,

En es-tu sûr ?

[nodgim]

Zut !

Tu fais bien fait de me morigéner, Pseuda.

Je voulais dire que x²+2x pouvait être assimilé à (x+1)² quand x ---->oo.

Formellement :
Soit X = x+1 et donc x²+2x = X²-1
V(X²-1) -(X-1)=X*V(1-1/X²) -X + 1
et conclusion quand X----> oo

[Pseuda]

Ah tu veux dire que V(x^2+2x) est très proche de x+1 quand x tend vers +infini, donc que V(x^2+2x) - x est très proche de 1.

Mais là comme tu l'écris, cela fait encore une FI.

Formellement, V(x^2+2x) - x = x ( 1 + 1/x +o(1/x) -1) = 1 + o(1). On peut conclure.

[Ben314]

Salut,
Les quantités conjugués, c'est bien lorsque l'on a que ça à sa disposition, mais à mon sens, au niveau "compréhension de pourquoi ça marche", c'est quand même pas terrible du tout.

Perso., dés que c'est possible (i.e. dés que le T.A.F. a été vu), je préfère une rédaction axée sur le fait que x^2+2x, c'est le début du carré de x+1 (*).
Et le T.A.F. nous dit alors que l'écart entre racine(x^2+2x) et x+1=racine((x+1)^2) c'est l'écart entre x^2+2x et (x+1)^2 [qui est constant égal à 1] multiplié par la valeur de la dérivée de t->racine(t) en un certain point compris entre x^2+2x et (x+1)^2.
Or comme la dérivée de t->racine(t) tend vers 0 lorsque t->oo (i.e. la pente est de plus en plus faible), l'écart entre racine(x^2+2x) et x+1 tend vers 0 quand x->oo.

(*) Rappel bien utile montrant une fois de plus qu'il vaut 100 fois mieux se rappeler de la forme canonique du trinôme du second degrés (utile dans des tonnes de circonstances, dont celle là) que d'apprendre par coeur les formules Delta=...

[Pseuda]

Oui en effet Ben314, ça marche comme ça aussi. Le TAF en dit moins long que les DL, mais ça permet de mieux comprendre ce qui se passe :

L'écart entre (x+1)^2 et x^2+2x reste évidemment constant, égal à 1. Mais ce qui nous intéresse, c'est l'écart entre V(x+1)^2=x+1 et V(x^2+2x). Et c'est là que ça coince. Cet écart est égal à l'écart sur la variable (b-a) multiplié par le taux d'accroissement (f(b)-f(a))/(b-a) entre les 2 bornes, donc égal à l'écart sur la variable multiplié par la valeur de la dérivée en un point compris entre les 2 bornes. Cette dernière valeur tend vers 0 (aplatissement de la courbe), tandis que l'écart de la variable reste de 1, d'où le résultat.

Le T.A.F. et son corollaire l'I.A.F ne me viennent pas naturellement. Ils proposent une approximation qui, des fois est suffisante, et des fois pas. C'est ce que j'ai du mal à cerner. Ils ont disparu du programme du lycée et c'est dommage.

[nodgim]

On peut aussi faire comme ça, c'est moins académique, mais...
En identifiant la presque égalité, on peut écrire :
V(x²+2x)= k (x+1)
k = V((x²+2x)/(x²+2x+1)) qui tend vers 1quand x tend vers oo.
Et donc k(x+1) ----> x+1 et donc la limite est 1.

[Ben314]

On peut aussi faire comme ça, c'est moins académique, mais...
En identifiant la presque égalité, on peut écrire :
V(x²+2x)= k (x+1)
k = V((x²+2x)/(x²+2x+1)) qui tend vers 1quand x tend vers oo.
Et donc k(x+1) ----> x+1 et donc la limite est 1.

Non, là, ça marche pas.
Déjà, du point de vue formel, tu a pas le droit décrire que "truc" tend vers x+1 lorsque tend vers l'infini : ça a pas de sens.
Pour écrire correctement quelque chose qui traduit la "même idée", il faut écrire que "truc"-(x+1) tend vers 0.
Sauf que dans le contexte où ton "truc", c'est k(x+1), "truc"-(x+1) c'est (k-1)(x+1) et le fait que k->1 te dit effectivement que k-1->0. Sauf qu'il tend vers 0 lorsque x->oo et donc que x+1->oo et ça veut dire que ton (k-1)(x+1), ben c'est une forme indéterminé "0 x oo" et on sait pas du tout si ça tend vers 0 ou pas.

[Ben314]

Ils ont disparu du programme du lycée et c'est dommage.

Concernant la disparition du T.A.F. en lui même, sur le plan théorique, ça change pas grand chose à ce qu'on peut faire comme exo. vu que le T.A.F. est (quasi) complètement équivalent au résultat qui continue à être enseigné disant que le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.
Le seul truc, c'est que ça oblige à créer des fonction "auxiliaires" pour ramener toute les inégalités (utiles pour le T.A.F.) de la forme f'(x) compris entre ? et ? à des inégalités de la forme g'>0 ou g'<0.

Par exemple, pour la fonction racine, un truc qui reste à peu prés dans les clous dans les clous au niveau Lycée, c'est de demander d'étudier, pour b>a>0 fixé, la fonction sur l'intervalle (éventuellement en mettant "des vrai nombres" à la place de a et/ou b pour pas leur faire peur)
Ils trouvent que f'<0 donc f est décroissante, donc c'est à dire et c'est bien plus ou moins ce que dit le T.A.F.
(tu peut bien évidement faire la même chose avec toujours sur qui elle vérifie g'>0 donc g(b)>g(a) c'est à dire )