Fonction dérivable et tableau de signe

[Dwenfa]

Bonsoir,

Je voulais savoir si la fonction f(x) = était dérivable en 0 ? Car je n'arrive pas à la dériver...

Ensuite, j'ai la question suivante :
Si f est une fonction dérivable sur [0;1] telle que f(0) = 0, f(1) = 1 et f'(1/2) = 0, alors on peut déduire que :
- La fonction f admet un extremum au point d'abscisse 1 (Je pense que cela est vrai)
- La fonction f est croissante (vrai)
- La fonction f n'est pas monotone (je ne sais pas...)
- La fonction f admet un extremum sur l'intervalle [0;1] (vrai)

Merci

[capitaine nuggets]

Salut !

La fonction "ln" est-elle dérivable en 0 ? Sinon, que penses-tu du reste ?

[Dwenfa]

Salut !

La fonction "ln" est-elle dérivable en 0 ? Sinon, que penses-tu du reste ?

La fonction ln est définie que sur ]0;∞[ donc elle n'est pas dérivable en 0 (j'avais oublié son domaine de définition)...

Pour ce qui est de la deuxième question... je n'arrive toujours pas à avancé mise à part que c'est sur que la fonction f est croissante

[capitaine nuggets]

Si f est une fonction dérivable sur [0;1] telle que f(0) = 0, f(1) = 1 et f'(1/2) = 0, alors on peut déduire que :
- La fonction f admet un extremum au point d'abscisse 1 (Je pense que cela est vrai)
- La fonction f est croissante (vrai)
- La fonction f n'est pas monotone (je ne sais pas...)
- La fonction f admet un extremum sur l'intervalle [0;1] (vrai)

Il n'y a pas de méthode miracle : soit c'est vrai, soit c'est faux. Mais ce n'est pas le tout d'avoir un avis ou de choisir l'un des deux au hasard, il faut savoir argumenter ! Si tu penses que c'est vrai, tu devrais être capable de donner un raisonnement (ou du moins une justification convaincante) montrant qu'effectivement, c'est vrai. Dans le cas contraire, si c'est faux, tu devrais pouvoir donner un contre-exemple (exemple qui montre que c'est faux).

D'après les données de l'énoncé, on te dit que :
1. f est dérivable sur [0;1],
2. f(0) = 0,
3. f(1) = 1,
4. f'(1/2) = 0.

A partir de ces infos, tu devrais pouvoir faire un "dessin" laissant imaginer les principales caractéristiques de la courbe de f. Autrement dit, que peux-tu tirer comme renseignement concernant la courbe représentative de f ?

[Lostounet]

Salut !

La fonction "ln" est-elle dérivable en 0 ? Sinon, que penses-tu du reste ?

Bonjour
Ce n'est pas parce qu'une fonction n'est pas dérivable/définie en un point qu'elle ne peut pas le devenir en la multipliant par une autre...?

Exemple: |x| n'est pas dérivable en 0 mais f(x)=x*|x| l'est car
f(0+h)-f(0)/h= h|h|/h = |h| qui tend vers 0 quand h tend vers 0 (par valeurs supérieures ou inférieures).
Donc cette limite existe.

Il vaut mieux regarder ce que donne la définition... d'ailleurs je me pose la question de savoir si dans la définition du taux d'accroissement on peut remplacer f(0) par la limite de f en 0...
Pour moi la fonction me semble dérivable en 0.. ou du moins la dérivée semble continument prolongeable en 0?

[Lostounet]

- La fonction f est croissante (vrai)
- La fonction f n'est pas monotone (je ne sais pas...)


Merci

Euh .. dire qu'une fonction est monotone signife qu'elle est soit croissante soit décroissante.
Donc si tu réponds croissante.. ben cela implique monotone..
Le jeu est d'essayer de construire des contre-exemples... de f qui soit croissante ou pas croissante et qui vérifie les conditions.

[pascal16]

Je suis étonné des réponses apportées.
x²ln(x) n'est pas dérivable en 0 car n'est pas définie en 0.
x²ln(x) est prolongeable par continuité en 0 par la valeur en 0 et peut alors vérifier si la nouvelle fonction ainsi définie est alors en dérivable( en 0+).

Pour la liste de question :
place les points et données connues
la fonction est loin d'être facile à imaginer car on ne connait que peut de choses. On ne répond VRAI que quand on est certain d'une chose.
Il faut imaginer des contres-exemples :
_ n'essaie pas de faire une ligne droite, et pense à une fonction plutôt en montagnes russes.
_ n'oubli pas les bases dérivée nulle en un point n'implique pas maximum (x^3 en 0), mais point à étudier, qui de plus peut être : pas un extremum, un extremum local, un extremum global.

[Lostounet]

Je suis étonné des réponses apportées.
x²ln(x) n'est pas dérivable en 0 car n'est pas définie en 0.
x²ln(x) est prolongeable par continuité en 0 par la valeur en 0 et peut alors vérifier si la nouvelle fonction ainsi définie est alors en dérivable( en 0+).

.

Comme d'habitude tu penses avoir raison sans même lire ce que les autres disent?
C'est quasi ce que j'ai voulu dire dans mon post d'avant...

[pascal16]

Bonjour
Ce n'est pas parce qu'une fonction n'est pas dérivable/définie en un point qu'elle ne peut pas le devenir en la multipliant par une autre...?

...

Il vaut mieux regarder ce que donne la définition... d'ailleurs je me pose la question de savoir si dans la définition du taux d'accroissement on peut remplacer f(0) par la limite de f en 0...
Pour moi la fonction me semble dérivable en 0.. ou du moins la dérivée semble continument prolongeable en 0?

Tes deux dernières phrases sont très pertinentes, mais l'entame elle dit un peu le contraire de ce que toi-même tu veux faire passer.
Je me pose au niveau de celui qui pose la question (pas au niveau premier de la classe en master), ou de quelqu'un que le sujet intéresse, ça doit l'embrouiller.

Si la pédagogie du forum, c'est de ne rien dire quand une réponse n'est pas bonne, on est pas sur un bon forum d'aide en mathématiques. Exemple, j'ai un peu plus de 2 000 messages ici, si seulement 1% de mes messages disent des conneries, ça fait 20 conneries. Quand je me fais recadrer pour une connerie, et tous ici, vétéran ou pas ont fait des conneries, je suis content car j'ai progressé.

[capitaine nuggets]

Salut !

La fonction "ln" est-elle dérivable en 0 ? Sinon, que penses-tu du reste ?

Bonjour
Ce n'est pas parce qu'une fonction n'est pas dérivable/définie en un point qu'elle ne peut pas le devenir en la multipliant par une autre...?

Exemple: |x| n'est pas dérivable en 0 mais f(x)=x*|x| l'est car
f(0+h)-f(0)/h= h|h|/h = |h| qui tend vers 0 quand h tend vers 0 (par valeurs supérieures ou inférieures).
Donc cette limite existe.

Il vaut mieux regarder ce que donne la définition... d'ailleurs je me pose la question de savoir si dans la définition du taux d'accroissement on peut remplacer f(0) par la limite de f en 0...
Pour moi la fonction me semble dérivable en 0.. ou du moins la dérivée semble continument prolongeable en 0?

Ben c'est ça le problème, de mon point de vue, la fonction ne peut pas être dérivable en 0, mais sa dérivée admet un prolongement continu en 0. Pour moi, ce n'est pas la même chose, mais je pense que ça dépend de comment on a vu la chose.

[pascal16]

Dwenfa peux-tu nous dire si c'est bon pour x²ln(x) et où en es tu sur les autres questions ?

[Lostounet]

Ben c'est ça le problème, de mon point de vue, la fonction ne peut pas être dérivable en 0, mais sa dérivée admet un prolongement continu en 0. Pour moi, ce n'est pas la même chose, mais je pense que ça dépend de comment on a vu la chose.

Perso je ne pense pas que ce soit bon pédagogiquement de s'arrêter à la "tête des fonctions en jeu" dans l'expression sans essayer de mener le calcul (cf mon exemple avec x|x|). Ce n'est pas parce qu'on voit un ln ou |x| que tout s'arrête.

Après je ne sais pas c'est quoi la réponse attendue. L'énoncé doit être mieux posé. S'il veut étudier la dérivabilité de f en 0 il faudrait au moins la définir en 0... non? Il faut être malsain pour demander de travailler sur une fonction non définie au point donné.

Si on précise que la fonction f définie par:
F(x)=x^2ln(x) pour x>0
Et f(0)=0 alors f est dérivable en 0.

Car (f(0+h)-f(0))/h=hln(h) tend vers 0 quand h tend vers 0.

Si on choisit f(0)=autre chose la fonction f ne serait même pas continue en 0.

[capitaine nuggets]

Perso je ne pense pas que ce soit bon pédagogiquement de s'arrêter à la "tête des fonctions en jeu" dans l'expression sans essayer de mener le calcul (cf mon exemple avec x|x|). Ce n'est pas parce qu'on voit un ln ou |x| que tout s'arrête.

Exactement, c'est exactement ce que j'avais en tête : comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point où elle n'est pas définie. Il est vrai qu'un énoncé clair et précis aurait été préférable.

[Dwenfa]

Bonsoir,

Merci à tous pour vos réponses, qui je vois a créé un débat "animé".

Effectivement, l'énoncé n'était pas clair, et notre professeur nous a précisé que justement comme disait Lostounet que f(0)=0 pour x = 0 et que f(x)=x^2ln(x) pour x > 0

Donc j'en ai déduis qu'elle était donc dérivable grâce au taux d'accroissement comme Loustounet l'avait fait.