L'énigme des 7 bougies

[Ben314]

Salut,

Quel est le meilleur outil du supérieur pour formaliser ce genre de configurations?
Est-ce que cela peut avoir une application en électricité ?

Concernant les application en "électricité", je sais pas, mais j'ai de gros doute. A la limite, en électronique (digitale, celle avec des portes), peut-être.

Sinon, si effectivement, de "souffler", ça "inverse" 3 bougies alors concernant "le meilleur outil du supérieur pour formaliser ce genre de configurations", c'est évident et immédiat : tu considère le corps K=Z/2Z et l'espace vectoriel K^7 et ce que tu demande, c'est de savoir comment écrire le vecteur (1,1,1,1,1,1,1) comme combinaison linéaire des 7 vecteurs :
(1,1,1,0,0,0,0) ; (0,1,1,1,0,0,0) ; (0,0,1,1,1,0,0) ; (0,0,0,1,1,1,0) ; (0,0,0,0,1,1,1) ; (1,0,0,0,0,1,1) ; (1,1,0,0,0,0,1)
Or on vérifie relativement facilement (comment ?) que la famille est libre donc c'est une base (7 vecteur en dimension 7) donc tout vecteur s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire de ces 7 là et le vecteur particulier (1,1,1,1,1,1,1), c'est clairement la somme des 7 (et c'est bien évidement la seule façon de l'écrire vu que c'est une base).

Question subsidiaire : s'il y a N bougies (toujours placées en cercle) et que quand on "souffle", ça en inverse P (avec P<N) consécutives sur le cercle, à quelle condition sur N et P peut-on les éteindre toutes si elles sont toutes allumées au départ ?

[nodgim]

P doit être impair si P ne divise pas N. Si P divise N, c'est bon.
A mon avis.

[nodgim]

@nodgim
si tu souffles 2 fois sur la même bougie, la 5, c'est comme si tu n'avais rien fait sur cette bougie là

Ben je suis d'accord avec toi mais je vois pas en quoi ma liste est pas bonne.
avant avoir soufflé deux fois sur 5
0000001
apres avoir soufflé deux fois sur 5
0000000
la bougie n'a pas changé ce qui est correcte.

Et integrer avait raison de signaler une erreur dans ta liste.

ben au risque de tjs paraitre stupide je vois pas en quoi.
Pe parce que il part sur le principe du switch (ce dont j'aimerais confirmation) auquel cas ok (car je suis parti sur principe qu'il n'y a __pas__ de switchau sens de lostounet). Sinon je comprends tjs pas.

Bon, tu en étais encore à l'option non dite de l'énoncé, on était plusieurs à avoir compris implicitement qu'il y avait changement d'état des 3 bougies, d'où l'incompréhension.
C'est réparé maintenant. Et, avec l'option que tu avais choisie, c'était effectivement correct. Sorry.

[Pseuda]

Bonsoir,

Solution = espace vectoriel sur le produit d'un corps constitué d'un anneau quotient.

Forum lycée, niveau collège......

@Lostounet A part nous faire perdre notre temps, qu'est-ce que cela te donne ?

[Lostounet]

@Lostounet A part nous faire perdre notre temps, qu'est-ce que cela te donne ?

La participation est volontaire et si cela ne t'amuse pas....

Le problème est à la base destiné à des collégiens (dans le cadre d'un rallye maths). Certainement pas avec la formalisation avec l'algèbre linèaire mais plus par le tâtonnement. Mon but n'est pas vraiment de voir la réponse mais de voir les constructions possibles pour les généralisations et comment les gens réagissent.

[Lostounet]

Salut,

Quel est le meilleur outil du supérieur pour formaliser ce genre de configurations?
Est-ce que cela peut avoir une application en électricité ?

Concernant les application en "électricité", je sais pas, mais j'ai de gros doute. A la limite, en électronique (digitale, celle avec des portes), peut-être.

Sinon, si effectivement, de "souffler", ça "inverse" 3 bougies alors concernant "le meilleur outil du supérieur pour formaliser ce genre de configurations", c'est évident et immédiat : tu considère le corps K=Z/2Z et l'espace vectoriel K^7 et ce que tu demande, c'est de savoir comment écrire le vecteur (1,1,1,1,1,1,1) comme combinaison linéaire des 7 vecteurs :
(1,1,1,0,0,0,0) ; (0,1,1,1,0,0,0) ; (0,0,1,1,1,0,0) ; (0,0,0,1,1,1,0) ; (0,0,0,0,1,1,1) ; (1,0,0,0,0,1,1) ; (1,1,0,0,0,0,1)
Or on vérifie relativement facilement (comment ?) que la famille est libre donc c'est une base (7 vecteur en dimension 7) donc tout vecteur s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire de ces 7 là et le vecteur particulier (1,1,1,1,1,1,1), c'est clairement la somme des 7 (et c'est bien évidement la seule façon de l'écrire vu que c'est une base).

Question subsidiaire : s'il y a N bougies (toujours placées en cercle) et que quand on "souffle", ça en inverse P (avec P<N) consécutives sur le cercle, à quelle condition sur N et P peut-on les éteindre toutes si elles sont toutes allumées au départ ?

Merci Ben, c'est exactement la formalisation que je cherchais.
J'ai directement pensé à (Z/2Z)^7 mais j'ai eu du mal à conclure de manière "théorique".

Je vais regarder la généralisation que tu proposes.
Il faudrait alors parvenir à écrire (1;....1) de taille n comme combinaison linéaire de vecteurs de la forme (-...;1;1;1-...) avec p nombres adjacents et qui changent d'une place.
Donc on se ramène à l'existence d'une famille génératrice.

[Skullkid]

Question subsidiaire : s'il y a N bougies (toujours placées en cercle) et que quand on "souffle", ça en inverse P (avec P<N) consécutives sur le cercle, à quelle condition sur N et P peut-on les éteindre toutes si elles sont toutes allumées au départ ?

Bonjour, a priori je dirais qu'on peut toujours y arriver sauf quand P est pair et ne divise pas N, mais je n'ai pas de démonstration. Enfin c'est assez facile de démontrer qu'on y arrive quand P est impair ou qu'il divise N, mais dans l'autre sens je n'ai que des arguments peu élégants à mon goût, et qui feraient une démonstration lourdingue si je prenais le temps de les mettre en forme...

Si on passe par l'algèbre linéaire, attention au fait qu'on ne cherche pas forcément les cas où la famille de vecteurs est génératrice, on a juste besoin que le sous-espace qu'elle engendre contienne le vecteur (1,1,...,1).

[nodgim]

Même réponse que la mienne, mais on peut affiner. En effet, si P et N sont pairs tous les deux, la possibilité (de changer l'aspect de toutes les bougies) est au minimum aussi efficace que si N et P étaient divisés par 2 : grouper les bougies par 2 et en actionner 1 seule sur les 2. Exemple (3,4) possible =====> (3*2^k, 4 * 2^k) possible.

Donc c'est toujours possible si N est au moins aussi pair que P (unique action sur chaque bougie).

Restent les autres cas.

Et la théorie là dedans, donne t'elle une réponse immédiate ?

[chan79]

au risque de paraitre complètement débile, non?

Tiens, je n'avais pas vu l'insulte. Je pensais que c'était prohibé sur ce forum. Un modérateur devrait le savoir et ne pas donner le mauvais exemple.

[nodgim]

@ Chan79 : Il n'avait pas tout à fait tort, on l'a contredit 2 fois, on ne parlait pas de la même chose, de son point de vue il avait raison.

Sinon, pour en revenir à la question de Ben :
- Si P divise N, on peut.
- Si P ne divise pas N, et que N est au moins aussi pair que P, on peut (j'espère qu'intuitivement tout le monde comprend le "au moins aussi pair").

Et ce sont les seuls cas possibles.
En effet, si après les divisions paires, P est pair et N impair, alors c'est impossible. Car le nombre total de changements d'aspects doit être impair, alors que ce nombre est pair (Nb de changements d'aspects = P fois nb d'actions).

[Pseuda]

Bonjour,

Ce problème avait toute sa place dans le forum "Enigmes". Pourquoi le mettre dans le forum Lycée ? J'ai passé 2 heures hier à essayer de le formaliser avec les outils du lycée. Dans le forum "Enigmes" j'aurais en effet passé ma route. Si l'administrateur lui-même ne montre pas l'exemple quant au choix du forum où poster les sujets.

[beagle]

"Est-ce que cela peut avoir une application en électricité ?"

Je pense que oui,
quand toutes les bougies sont soufllées, on ne voit plus rien.
Reste à allumer la lumière.En appuyant combien de fois sur l'interrupteur?
Facile, on se ramène à un problème dans Z/Ztop au lieu de Z/2Z , avec guitare électrique:
https://www.youtube.com/watch?v=0_EFdod4YDo

[beagle]

Variante géométrie vectorielle pour le collège?, lycée,
pour qui en connaît un rayon.
Je dispose mes bougies comme les heures d'une horloge (le gateau est rond) qui n'aurait que 7 heures.

Lorsque je souffle la bougie de midi, j'envoie trois rayons sur midi, 10h00 et 01h00
Les essais tâtonnements j'envoie mes trois rayons en soufflant la bougie de 01h
j'ai un rayon 10h00, deux rayons 12h00, deux rayons 13h00 1 rayon 04h00
Si je fais encore décalage de 1 en soufflant 04h00, j'ai ...
j'ai éteint 01heure qui a trois rayons (même principe que les 3 un du vectoriel).

etc...si je continue par décalage simple, j'éteins 04h00 avec 3 rayons

Bref dans les tâtonnements:
de la méthode, comment me repérer dans mon action
ben les 1 et zero, la sont des rayons

quant aux tâtonnements, erreurs essais, c'est légitime de chercher la proximité, souffle, j'essaye de souffler celui qui est deux plus loin, celui qui est 1 plus loin ...

Voilà transcription sur un thème, Beagle au piano.