par Ben314 » 17 Nov 2017, 12:46
Salut,
Si le raisonnement de départ était juste (sauf qu'il ne l'est pas...), l'argument à utiliser serait tout bête : si dans la formule on regarde x comme étant fixé une bonne fois pour toute, alors la fonction de ]-pi/2,pi/2[ dans R qui à y associe tan(x).tan(y) est évidement continue et ça signifie qu'elle ne peut pas changer de signe sans s'annuler.
Donc vu qu'elle s'annule uniquement en y=x-pi/2, ça signifie qu'elle est de signe constant pour y<x-pi/2 et qu'elle est aussi de signe constant pour y>x-pi/2 et il n'y a qu'à regarder deux "cas particulier" (1) (par exemple les limites lorsque y tend vers -pi/2 et lorsqu'il tend vers +pi/2) pour savoir quels sont ces deux signes, sachant qu'il est fort probable, que la fonction change de signe à l'endroit où elle s'annule, mais que ce n'est pas une certitude : par exemple f(x)=x² s'annule en x=0, mais ne change pas de signe.
Sauf qu'en fait, le raisonnement de départ est faux : tan(y)=-cot(x) équivaut effectivement à y=x-pi/2+k.pi avec k dans Z (2) sauf que l'unique solution avec y dans ]-pi/2,pi/2[ ne sera y=x-pi/2 que dans le cas où x>0.
Par contre, si x<0, l'unique solution avec y dans ]-pi/2,pi/2[ ne sera y=x+pi/2.
(1) Ou alors utiliser le fait bien connu que la fonction tan est croissante sur ]-pi/2,pi/2[ pour en déduire que, si tan(x)>0, alors y->tan(x)tan(y) est croissante donc est <0 avant l'endroit où elle s'annule et >0 après (et c'est le contraire si tan(x)<0).
(2) qui, soit dit en passant, est très très exactement la même chose que y=x+pi/2+k.pi avec k dans Z vu que dans les deux cas, ce que ça dit, c'est que les solutions, c'est :
. . . ; y=x-7pi/2 ; y=x-5pi/2 ; y=x-3pi/2 ; y=x-pi/2 ; y=x+pi/2 ; y=x+3pi/2 ; y=x+5pi/2 ; y=x+7pi/2 ; . . .
(dire qu'on peut prendre pour k un entier relatif quelconque, c'est évidement la même chose que de dire qu'on qu'on peut prendre pour k+1 un entier relatif quelconque !!!)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius