Arithmétique

[Pseuda]

Le procédé avec le pgcd est plus lent car on ne peut pas faire de combinaisons linéaires des 2 côtés, mais que d'un seul, et à mon avis, on n'est pas sûr d'aller jusqu'au bout sans s'arrêter et faire des hypothèses (fraction de Ben314). Mais il permet de raisonner directement par équivalences (de calculer directement le pgcd).

Par contre avec le procédé avec les CL qui donne les pgcd possibles, je ne suis pas sûre qu'une fois obtenus (ces pgcd), on puisse déterminer facilement à quelle condition la fraction est irréductible.

En fait je pense que cela dépend des cas et du type de problèmes (fraction irréductible ? pgcd en fonction de n ?, ...). Il faudrait plus d'exemples pour conclure.

Bon je regarderai plus tard ces nouveaux polynômes .

[nodgim]

La méthode qu'on peut appeler PGCD aboutit toujours, le résultat final, un entier, étant de la forme
A = X*P - Y*Q, si P et Q sont les polynômes à étudier, X et Y étant également des polynômes.

Pour l'exemple de Ben314 :
P=n²+2n+1 et Q= 3n²-1
R1 = n²+6n+3 = 3P-n²Q
R2= 18n+10 = 3 R1 - Q
R3= 98n +54 = -n R2 + 18 R1
R4 = 2 = -9/2 R3 + 49/2 R2

Bon maintenant, comme tu dis, ce n'est pas forcément toujours la voie la plus rapide.

[Pseuda]

Bonsoir nodgim,

Peux-tu expliquer ton calcul pour déterminer à quelle condition sur n la fraction 5n^2/(7n+4) est irréductible ?

[nodgim]

Euh oui, il suffit d'utiliser l'algorithme que j'ai mentionné :
P = 5n² et Q= 7n+4
7P= 35n² et 5n*Q = 35n² + 20
5n*Q - 7P = 20

On vérifie ensuite qu'il existe n tel que P et Q = 0 [5] ou [4]

[Pseuda]

Bonjour nodgim,

C'est ce que je pensais... Tu appliques une CL des 2 côtés à la fois (ce qui revient à résoudre via la méthode des CL). Ceci peut entraîner des solutions surnuméraires sur n (*) qui au final n'ont pas d'incidence quand on cherche à quelle condition sur n la fraction est irréductible (**), mais qui en auraient pour d'autres types de problèmes comme par exemple la recherche du PGCD des 2 polynômes en fonction de n (***).

Je m'explique.
(*) On ne peut pas dire que : (2n)^(5n+1)=(5*2n-2(5n+1),2n)=(2,2n)=2 ; c'est faux si n est pair.

(**) On sait juste que (2n)^(5n+1) | 2, donc le PGCD est égal à 1 ou 2, et il est égal à 1 (fraction irréductible) ssi il est différent de 2 ssi 2 non | 5n+1 ssi n pair --> on élimine les solutions surnuméraires facilement.

(***) Si on cherche le PGCD des 2 polynômes en fonction de n, on aboutit à PGCD=2 quelque soit n, ce qui est faux.

Avec la méthode du PGCD (qui est un PGCD= de bout en bout), soit on s'arrête (car on ne peut plus continuer) et on émet des hypothèses (comme a fait Ben314) pour pouvoir continuer, soit on applique la recherche d'un diviseur d commun (ce que tu as fait en réalité) et on dit que le seul diviseur commun est 1 ssi les solutions surnuméraires ne divisent pas les 2 polynômes.

Dans le cas (5n^2)/(7n+4) tu es arrivé à PGCD | 20, donc la fraction est irréductible ssi 2 et 5 non | à la fois les polynômes ssi n impair et 7n+4 non divisible par 5 ssi n-3 non divisible par 5.

Merci de m'avoir lue jusqu'au bout ! (je m'y perds). Tout cela pour dire qu'en fait tu as appliqué la méthode par CL et non pas celle par PGCD.

[nodgim]

Je suis bien conscient de cette limite, dont j'ai déjà parlé.

Le nombre " final " trouvé est tout de même une sorte de PGCD, puisqu'il s'agit d'une suite de différences successives. Mais, ce nombre est un guide pour trouver les éventuelles solutions: s'il y a des solutions, elles sont forcément en relation avec ce nombre, ses facteurs premiers plus précisément.

C'est pour tester l'efficacité de cette méthode que je demandais la résolution de la fraction (4n^3+3n+1)/(2n²+1). Personnellement, à part la recherche de cette sorte de PGCD, je ne sais pas trop comment m'y prendre....

[Pseuda]

Inconvénient de la méthode: elle peut conduire à un nombre final qui demandera peut être beaucoup de vérifications....

En fait tu le dis, et c'est juste une question de terminologie. La méthode par PGCD pour moi, c'est PGCD = ... de bout en bout.

Pas lu ton message.

[Pseuda]

On ne peut pas écrire : PGCD(5,9)=PGCD(3*5-2*9,9)=PGCD(-3,9)=3. Il faut appliquer PGCD(a,b)=PGCD(a-kb,b) très précisément.

Mais on peut écrire : si d divise 5 et 9, alors d divise 3 (c'est pas faux).

Le nombre " final " trouvé est tout de même une sorte de PGCD, puisqu'il s'agit d'une suite de différences successives.

Pas exactement des différences.

[nodgim]

Oui, c'est vrai, j'ai fait des combinaisons linéaires. J'oublie le terme PGCD.
Disons qu'aller au bout des CL permet de trouver les éventuels facteurs premiers, mais ce nombre final ne dit pas si les polynômes sont solutions, ni pour quels "n" ces solutions existent. Toutefois, il n'y a pas de solution possible (facteur commun aux 2 polynômes) en dehors des facteurs premiers de ce nombre.

[Pseuda]

D'accord ! Il y a des exos de TS par exemple, calculer le PGCD (P(n), Q(n)) en fonction de n. Si on arrive à = PGCD (20, a*n+b), la méthode est intéressante. Sinon, si on est bloqué et qu'il faut faire des hypothèses, la méthode par CL (qui donne les diviseurs possibles) est tout aussi bien.

[Pseuda]

Mon exemple est mal choisi : (5n^2)/(7n+4) peut se résoudre par PGCD :
(5n^2)^(7n+4)=
(35n^2)^(7n+4)= (car 7 est premier avec 7n+4)
(35n^2-5(7n+4))^(7n+4)=
(20,7n+4).

Par contre (n^2+3n,15n+10) ne peut pas sans émettre d'hypothèses (enfin je crois).

Bon, je vais m'arrêter là.

[Ben314]

Juste un mot pour rappeler (??) un truc théorique dont certains ont sans doute déjà entendu parler et qui explique pourquoi il y a "plusieurs" méthodes et pourquoi ce n'est pas "totalement évident" :
- L'anneau Z est Euclidien donc on a une division Euclidienne et un algorithme d'Euclide qui permet sans coup férir de trouver le pgcd de deux entiers donnés.
- Si K est un corps, l'anneau K[X] des polynômes à coeff. dans K est lui aussi euclidien donc le même algo s'aplique et donne à coup sûr le pgcd de 2 polynômes.
- Sauf que là, dans le contexte présent, au fond, on travaille dans Z[X] : ce qu'on manipule, ce sont des polynômes (en la variable "n") à coefficients entiers et Z[X] n'est pas Euclidien donc pas d'algo. d'Euclide à bètement appliquer pour déterminer le pgcd (en supposant ... qu'il existe...)
Et ce que propose pas mal d'intervenant (de multiplier quand c'est nécessaire les polynômes par une constante pour pouvoir retrancher un certain nombre de fois l'autre), ben au fond, ça revient plus ou moins à accepter d'écrire des polynômes à coefficients rationnels, c'est à dire à ramener le problème à Q[X] à la place de Z[X] et évidement, ça marche bien mieux vu que, comme Q est un corps, Q[X] lui est bien Euclidien (le seul problème, c'est évidement d'interpréter le résultat qu'on a en terme de Z[X] et pas de Q[X]...)

[Pseuda]

Oui j'y avais pensé, à calculer le PGCD des polynômes de Z[X], mais on se retrouve avec des coefficients dans Q, donc des polynômes dans Q[X]. Cela n'a plus de sens. Ou alors, il faudrait lui trouver un ? Je ne suis pas sûre que cette méthode marche. A étudier.

[nodgim]

Mon exemple est mal choisi : (5n^2)/(7n+4) peut se résoudre par PGCD :
(5n^2)^(7n+4)=
(35n^2)^(7n+4)= (car 7 est premier avec 7n+4)
(35n^2-5(7n+4))^(7n+4)=
(20,7n+4).

Par contre (n^2+3n,15n+10) ne peut pas sans émettre d'hypothèses (enfin je crois).

Bon, je vais m'arrêter là.

Pardon, Pseuda, mais le 20 ne semble pas bon, vu la ligne du dessus qui vaut 35n²-35n-20. Il manque 1 ligne ?

[Pseuda]

Bonjour nodgim,

Bien vu !
(35n^2)^(7n+4)=
(35n^2-5n(7n+4))^(7n+4)=
(20n)^(7n+4)=
(140n)^(7n+4) (car 7 est premier avec 7n+4)=
(140n-20*(7n+4))^(7n+4)=
80^(7n+4).
On aboutit au même résultat : la fraction est irréductible ssi 7n+4 non divisible par 2 ou 5.

Il faudrait maintenant démontrer qu'il existe des polynômes (comme (n^2+3n,15n+10)) qui ne peuvent pas se résoudre avec la technique du PGCD sans émettre d'hypothèses !

[nodgim]

(n²+3n, 15n + 10 ) est tout de même un couple qui présente des facteurs premiers évidents :
5 parce que (15n+10) et 2 parce que n²+3n = n(n+3), quand n pair les 2 polynômes le sont.

ça revient donc à rechercher (n+3, 3n+2) pour les autres facteurs éventuels.
Et là le PGCD se trouve.

[Pseuda]

Il y a n aussi et ses facteurs premiers parmi les facteurs premiers à chercher ? Il y a donc 5 et 2 et les autres sont à chercher parmi (n^2+3n)^(3n+2).

Cette technique marche pour la recherche de la condition d'irréductibilité d'une fraction (où on recherche les facteurs premiers possibles des 2 polynômes, pour pouvoir les éliminer), mais pas pour le problème du calcul du PGCD en fonction de n.

[Pseuda]

Ou alors il faut préciser que n^(3n+2) | 2 : on peut éliminer n. Si cela avait été 3n+11 au lieu de 3n+2, on aurait pu avoir 11 comme facteur premier commun avec n. Bref.