Application lineaire

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Vlad-Drac
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application lineaire

par Vlad-Drac » 14 Nov 2017, 23:21

Bonjour je cherche a determiner l'application linéaires definie par :

On considère les espaces vectoriels V et W, munis respectivement des bases
(v1,v2,v3) et( w1,w2,w3,w4).
f : V → W telle que
f(v3 − 2v1) = −w1 − w2 + w3 + w4
f(v2 − v1) = w1 − w2 − w3 − w4
f(v1 − v3) = w1 − w2 − w3 − w4

Le probleme c'est que je me retrouve a écrire f(x,y,z)= (x+y+z+t , etc.... ) donc si quelqu'un pouvait m'expliquer :?
merci



Pseuda
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Re: application lineaire

par Pseuda » 14 Nov 2017, 23:53

Bonsoir,

Une application linéaire d'un e-v dans un autre est entièrement déterminée par l'image d'une base (en fonction des vecteurs d'une base de l'e-v d'arrivée).

Il s'agit de déterminer f(v1), f(v2), f(v3) à l'aide de w1, w2, w3 et w4 (en résolvant un système d'inconnues f(v1), f(v2), f(v3) ).

Vlad-Drac
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Re: application lineaire

par Vlad-Drac » 15 Nov 2017, 00:01

merci
est ce que cela reviens a resoudre le systeme suivant ?
z-2x=-a-b+c+d
y-x=a-b-c-d
x-z=a-b-c-d
?
et exprimer x,y et z en fonction de a b c et d

Pseuda
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Re: application lineaire

par Pseuda » 15 Nov 2017, 00:05

Oui c'est ça, si tu appelles z=f(v3), etc..

Vlad-Drac
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Re: application lineaire

par Vlad-Drac » 15 Nov 2017, 00:12

oui mais alors ca je l'ai fait j'obtien
f(v1)=2w2
f(v2)=w1+w2-w3-w4
f(v3)=-w1+3w2+w3+w4

mais apres je voulais pour determiner l'application lineaire ecrire
f(x,y,z)= ( . . . )
je ne met que x,y,z car v1v2v3 forme une base de 3 vecteurs.
Modifié en dernier par Vlad-Drac le 15 Nov 2017, 00:19, modifié 1 fois.

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chan79
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Re: application lineaire

par chan79 » 15 Nov 2017, 00:16

Tu peux ajouter la première et la troisième ligne.

Pseuda
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Re: application lineaire

par Pseuda » 15 Nov 2017, 00:28

f(x,y,z) ne veut rien dire, f transforme un vecteur en un autre.

Soit tu exprimes f à l'aide d'une matrice, soit tu écris f(u) = f(x*v1+y*v2+z*v3) =.... à l'aide de w1, w2, w3 et w4

Vlad-Drac
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Re: application lineaire

par Vlad-Drac » 15 Nov 2017, 00:37

f est il représenté par la matrice :
0 1 -1
-2 1 3
0 -1 1
0 1 1

Pseuda
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Re: application lineaire

par Pseuda » 15 Nov 2017, 01:14

C'est ça sauf une erreur de signe dans la 1ère colonne.

Vlad-Drac
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Re: application lineaire

par Vlad-Drac » 17 Nov 2017, 00:05

Merci!
j'ai determiner ker(f)
je trouve ker(f)=0
je cherche a determiner im(f) mais je ne sais plus comment on fait...
je sais que im(f) ={f(x)/xappartient à E}
et apres je seche

Vlad-Drac
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Re: application lineaire

par Vlad-Drac » 17 Nov 2017, 00:20

est ce que cest le sous espace engendré par les 3 vecteurs colonne de la matrice vu que d'apres le theoreme du rang sa dimension est 3 ?
mais f va de R3 dans R4 non ? grrrr je comprend pas

Pseuda
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Re: application lineaire

par Pseuda » 17 Nov 2017, 01:51

Oui c'est ça, un ss-ev de R4 de dim 3, engendré par f(v1), f(v2), f(v3) (puisque ker f = {0})

 

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