Endomorphisme dimension 1

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mehdi-128
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Endomorphisme dimension 1

par mehdi-128 » 16 Nov 2017, 21:31

Bonsoir,

Je cherche l'ensemble des endomorphismes symétrique en dimension 1 pour prouver qu'ils sont diagonalisables dans une base orthonormée de vecteur propre.

Comment faire ?



aviateur
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Re: Endomorphisme dimension 1

par aviateur » 17 Nov 2017, 00:52

Bonjour
Commence par me donner un exemple d'endomorphisme en dimension 1 (n'importe lequel), ensuite je t'expliquerai comment il faut faire.

mehdi-128
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Re: Endomorphisme dimension 1

par mehdi-128 » 18 Nov 2017, 16:10

Soit E un K espace vectoriel.

Un endomorphisme est une application linéaire de E dans E.

En dimension 1 par exemple :

mehdi-128
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Re: Endomorphisme dimension 1

par mehdi-128 » 22 Nov 2017, 00:46

Bonsoir,

Pourriez-vous m'aider ?

Pseuda
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Re: Endomorphisme dimension 1

par Pseuda » 22 Nov 2017, 01:24

Bonsoir,

En dimension 1, tous les endomorphismes peuvent s'écrire à l'aide d'une matrice diagonale qui n'est autre qu'une matrice de type 1x1 : (a), donc diagonale.

En effet, prends un vecteur non nul e1, c'est donc une base. Son image par une application linéaire est donc u(e1)=a*e1, a un scalaire (forcément). Du coup, quelque soit le vecteur x, u(x)=u(x1*e1)=x1*u(e1)=x1*a*e1=a*x1*e1=a*x. Tous les vecteurs non nuls sont des vecteurs propres associés à la valeur propre a. Tous les vecteurs non nuls forment une base. Dans toute base, la matrice de u est la même : (a), diagonale et symétrique.

mehdi-128
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Re: Endomorphisme dimension 1

par mehdi-128 » 22 Nov 2017, 23:46

J'ai compris jusqu'à :
Tous les vecteurs non nuls sont des vecteurs propres associés à la valeur propre a.

J'ai pas compris la transition. Comment montrer que ?

* Tous les vecteurs non nuls forment une base.

Donc la matrice M de l'endomorphisme vaut : dans toute base car u(e1)=ae1 mais si je prends n'importe quel vecteur z j'aurai toujours : u( z)=az donc la matrice change pas si on change de base.

Par ailleurs, comment montrer que u est diagonalisable en base orthonormé ?

Pseuda
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Re: Endomorphisme dimension 1

par Pseuda » 23 Nov 2017, 00:26

Bonsoir,
mehdi-128 a écrit:
* Tous les vecteurs non nuls forment une base.

Je voulais dire : chaque vecteur non nul est une base à lui seul (imagine une droite vectorielle)

Donc la matrice M de l'endomorphisme vaut : dans toute base car u(e1)=ae1 mais si je prends n'importe quel vecteur z j'aurai toujours : u( z)=az donc la matrice change pas si on change de base.

oui

Par ailleurs, comment montrer que u est diagonalisable en base orthonormé

u est diagonalisable dans n'importe quelle base puisque sa matrice est tjs la même quelque soit la base : (a), donc a fortiori dans une base orthonormée !
En dim 1, les seules applications linéaires sont les homothéties vectorielles (de rapport a, l'élément diagonal).

Pseuda
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Re: Endomorphisme dimension 1

par Pseuda » 23 Nov 2017, 00:56

Au vu de tes questions, je pense qu'il te manque vraiment les bases de l'algèbre linéaire, le b-a ba quoi, et que tu devrais vraiment commencer par ouvrir un bouquin qui traite de ce sujet, que ce serait plus profitable pour toi d'essayer de comprendre par toi-même.

pascal16
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Re: Endomorphisme dimension 1

par pascal16 » 23 Nov 2017, 15:59

on est en sur un endomorphismes en dimension 1.
si tu multiplies par 3 le seul et unique vecteur de la base de départ, tu multiples par 3 aussi le seul et unique vecteur de la base d'arrivée car c'est le même, aucune proportion n'est modifiée.

f(x)=ax
f(e1) = a e1
la matrice de f est (a)

soit e'1 = 3 e1
f(e'1) = f(3 e1)= 3f(e1) <- par linéarité
= 3 (a e1)
= a (3e1)
= a e'1
donc la nouvelle matrice est (a)

par contre d'un ev vers un autre, un changement de base change la matrice (NB : si on multiplie tous les vecteurs des deux bases par une même constante non nulle, la matrice ne bouge pas)

mehdi-128
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Re: Endomorphisme dimension 1

par mehdi-128 » 23 Nov 2017, 17:56

Pseuda a écrit:Au vu de tes questions, je pense qu'il te manque vraiment les bases de l'algèbre linéaire, le b-a ba quoi, et que tu devrais vraiment commencer par ouvrir un bouquin qui traite de ce sujet, que ce serait plus profitable pour toi d'essayer de comprendre par toi-même.


J'en lis des tonnes de cours mais y a toujours des trucs qui me bloquent.
Vous pensez que j'ai pas lu le cours mais vous vous trompez, c'est juste que j'ai pas compris des choses. Y a qu'en pratiquant et faisant des exos concrets que j'arrive à comprendre.

Là j'ai compris grâce à vous merci beaucoup 8-)
Modifié en dernier par mehdi-128 le 23 Nov 2017, 18:06, modifié 1 fois.

mehdi-128
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Re: Endomorphisme dimension 1

par mehdi-128 » 23 Nov 2017, 18:05

Mais sinon j'ai compris Pseuda merci !

En gros si mon vecteur quelconque est : en dimension 1 il est vecteur propre et l'endomorphisme est diagonalisable la matrice s'écrit :

On a : u(z)=az et la base est B=(z)

On veut montrer qu'il existe une base orthonormée de vecteur propre. On peut normer le vecteur z et appeler z' le vecteur normé :



Donc et la matrice de l'endomorphisme u est bien diagonalisable dans une base orhonormée.

Pseuda
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Re: Endomorphisme dimension 1

par Pseuda » 23 Nov 2017, 18:49

Message perdu, je réessaierai. En tout cas, super !

 

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