Norme euclidienne et boules

[MoonX]

Bonjour,

Soit E un e.v.n. Soient .

Si la norme est euclidienne, montrer que si avec , alors .
(Où )
J'ai déjà montré que les boules sont convexes.

J'ai du mal à commencer : je n'arrive déjà pas à exprimer la norme euclidienne ici ? (comme c'est un espace vectoriel quelconque, je me doute qu'on ne l'exprime pas avec l'intégrale, mais ici comment l'exprimer ?)

Je vous remercie par avance !

[Ben314]

Salut,
Le fait que la norme soit "Euclidienne", ce que ça te dit, ben c'est qu'elle est issue d'un produit scalaire donc bien évidement ça signifie que pour montrer le truc en question il va falloir utiliser le produit scalaire.

Ensuite, quand tu dit que "tu as déjà montré que les boules sont convexes", c'est lesquelles : les boules ouvertes,les boules fermées ou les deux ?
- En admettant que tu sait déjà que les boules fermées sont convexes, ça aide un tout petit peu, vu que tu sait déjà que ||(1-t)u+tv|| est inférieur ou égal à r pour tout t de [0,1] (fermé).
Comme là, ce qu'il faut que tu montre, c'est que ||(1-t)u+tv|| est strictement inférieur à r pour tout t de ]0,1[ (ouvert), ben il "suffit" de montrer qu'il ne peut pas y avoir égalité sauf éventuellement pour t=0 et t=1.
- De même, si tu sait déjà que les boules ouvertes sont convexes, ça aide un tout petit peu, vu que ça signifie que, si ||u-a|| et ||v-a|| sont différent de r, alors u et v sont dans la boule ouverte donc [u,v] et à fortiori ]u,v[ sont dans la boule ouverte.

Mais bon, vu que de toute façon on est obligé de recommencer (quasi) les même calculs pour voir ce qui se passe avec les inégalités strictes, je suis pas sûr que ce soit bien utile de commencer par dire qu'on sait déjà que les boules sont ouvertes (ou alors juste pour bien montrer qu'on a compris la question est de nature un peu différente)

[MoonX]

Merci pour votre réponse !

Je parlais des deux boules : la boule fermée est convexe, celle ouverte aussi.
Donc si l'on suppose que u et v sont dans la boule ouverte, c'est fini.

On suppose alors que u et v sont dans la frontière (i.e. ).
Donc, si je comprend bien, il faut que je montre que l'égalité est valable ssi t=0 ou t=1 ? Ce que j'ai donc essayé de faire, mais je n'arrive pas à conclure. Je trouve ceci :

Je pense pas que ce soit la bonne méthode...

Et ensuite, comment traiter le cas u est dans l'intérieur de la boule et v à la frontière ?

[Ben314]

Pour commencer, attention au niveau "logique pure" : effectivement, si u et v sont dans la boule ouverte, c'est fini. Mais la négation de "u et v sont dans la boule ouverte", ce n'est pas "u et v sont sur la frontière", mais "u ou (inclusif) v est sur la frontière".

Mais de toute façon, je ne pense pas que ça simplifie franchement les calculs d'avoir comme hypothèse par rapport à .
Attention : les boules sont centrées en et pas en 0 : ça ne va évidement strictement rien changer à la logique des calculs, mais il faut quand même écrire les trucs proprement ou alors commencer par écrire que ça change que dalle (et le justifier) et donc qu'on raisonnera en faisant comme si a=0.

Bon, sinon, effectivement, ce qu'il faut que tu montre, c'est que (strict) lorsque (ouvert) avec comme hypothèse que (ici, c'est des inégalités larges) et ce que tu as écrit est parfaitement correct : on commence évidement par une séries d'égalités pour "faire apparaitre" et :

Arrivé à ce point là, ben on voit pas grand chose d'autre à faire à part commencer à majorer, avec évidement LA majoration qui doit "sauter aux yeux" consistant à majorer le produit scalaire par le produit des normes (inégalité de Cauchy-Schwartz).
Sauf que, en général, on majore avec des inégalités larges alors que là, il faut bien regarder quand est-ce qu'on a en fait une majoration stricte (en se rappelant en particulier quels sont les cas d'égalités dans Cauchy-Schwartz)
A noter aussi que, vu qu'on a pris t dans ]0,1[ ouvert, on a t(1-t)>0 (strict) et donc que si on a une majoration stricte de ça va bien donner une majoration stricte de .

Je te laisse regarder si tu arrive à finir (si tu écrit tout bien comme il faut, tu va évidement avoir aussi besoin de l'hypothèse faite qui dit que )

[MoonX]

Merci encore,

J'ai donc trouvé pour tous les cas :
- Si les vecteurs ne sont pas liés, c'est une inégalité stricte et on conclut
- Si un les deux vecteurs sont dans l'intérieur, c'est strict
- Si un des deux est dans la frontière, c'est stricte aussi (l'autre est dans l'intérieur)

Il ne reste plus qu'à traiter le cas : les deux sont à la frontière.
Alors, comme et sont liés, ils existe une constante, (car sinon on sort de la frontière). C'est forcément -1 (car les vecteurs sont supposés distincts) ; là on revient sur l'expression .
Je bloque ici : ça ne permet pas de conclure...

[Ben314]

C'est tout bon sauf une mini étape que tu as raté (et qui permet de conclure) :
Ce que dit l'inégalité de Cauchy-Schwartz, c'est que avec égalité ssi et sont colinéaires.
Sauf que, à gauche de l'inégalité (de Cauchy-Schwartz), il y a une valeur absolue alors que toi, dans ton expression, tu n'a pas de valeur absolue donc tu utilise aussi le fait que
Et pour que les deux inégalités (1) et (2) soient toutes les deux des égalités, il faut non seulement que x et y soient colinéaires, mais aussi que le coeff. de colinéarité soit positif pour que soit positif.
Donc ça exclu le cas où le coeff. est -1 où on aurait en fait et pas .