Exo PGCD PPCM

[lomdefer]

trouver deux entiers naturels sachant quqe leur somme est 581 et que le quotient de leur PPCM par leur PGCD est 240.
En claire, a+b = 581 et PPCM(a,b)/PGCD(a,b)=240.
ET j'ai une espèce d'intuition comme quoi il faut utiliser le fait que : PPCM(a,b)*PGCD(a,b) = a*b mais je ne sais pas comment.

[alben]

Bonjour

pose a=da', b=db' où d=pgcd(a,b) et traduit tes deux relations en remplaçant a et b par a', b' et élimine le ppcm par la relation dont tu parles.

[Quidam]

Ouais, pas facile !

Je pense qu'il est utile de considérer la décomposition en facteurs premiers de a et de b. Soient , à les n facteurs premiers intervenant dans la décomposition de a et b.
(certains des pouvant être nuls)
(certains des pouvant être nuls)

Soit D le PGCD de ces deux nombres, M, leur PPCM.
Alors :


inf(x,y) désignant "le plus petit des deux nombres x et y)
sup(x,y) désignant "le plus grand des deux nombres x et y)
et


Bon, je m'arrête ! Essaie de continuer !

[alben]

Ouais, pas facile !

Et si ! les données permettent d'obtenir (à un facteur d=pgcd près) la somme et le produit des deux nombres.
Il suffit d'écrire le delta de l'équation du second degré >0 pour obtenir une condition sur d et comme 581 n'a pas beaucoup de diviseurs...

[Quidam]

Et si ! les données permettent d'obtenir (à un facteur d=pgcd près) la somme et le produit des deux nombres.
Il suffit d'écrire le delta de l'équation du second degré >0 pour obtenir une condition sur d et comme 581 n'a pas beaucoup de diviseurs...

Faut voir ! Je ne suis pas ennemi du colloque ! Lorsque lomdefer aura trouvé, nous comparerons nos solutions respectives !
(j'ai quand même trouvé la solution, au cas où tu en douterais !)

[lomdefer]

Bonjour alben quelles sont les raisons pour lesquels tu pose a=d.a' et b=d*b' avec d=pgcd(a,b) ?

[alben]

C'était pour obtenir deux nombres premiers entre eux
En fait tu peux t'économiser cette transformation en gardant d comme paramètre et en éliminant le ppcm avec les 240

[lomdefer]

PLus de precision serait les bienvenus car je ne comprend pas bien

[alben]

Qu'a tu fait exactement ???

[lomdefer]

ben j'ai beau poser a =d.a', b=d.b' avec d=pgcd(a,b) je fait plein de calcul mai sa n'abouti a rien...il faut bien que je me serve de :
- a+b=581
-ppcm(a,b)/pgcd(a,b)=240
-ppcm(a,b)*pgcd(a,b)=a.b
-a=d.a'
-b=d.b'
-d=pgcd(a,b)

Je fait des tas d'isolement, des usbstitutions mais sa me mène nul part...

[alben]

S=a+b=581
P=ab=md=(m/d)d² =240 d² (m=ppcm)
Il reste à trouver deux nombres dont on connait la somme et le produit (avec d inconnu mais dont on sait qu'il divise 581).
C'est une équation du second degré dont les solutions doivent être entières, donc delta....