N&C trouver une écriture à virgule à partir d'une fraction

[mellesamia]

Bonjour à tous,

J'essaie de réaliser un exercice qui me demande de : "Montrer que l'on peut donner, sans calcul, l'écriture à virgule du nombre (écriture fractionnaire) 41/333 à partir de l'égalité suivante : 41=333x0,123+0,041. "

J'ai compris sans difficulté que je devais passer par :
(écriture fractionnaire)41/333=(écriture fractionnaire)333x0,123/333+(écriture fractionnaire)0,041/333

Puis : (écriture fractionnaire)41/333 =0,123 + (écriture fractionnaire)0,041/333

Mais ensuite la correction m'indique que je dois trouver :
0,041=333x0,000123+0,000041 et ils me disent ensuite qu'il suffit de continuer a substituer ce écriture de 0,041 dans (écriture fractionnaire)41/333=0,123+(écriture fractionnaire)0,041/333 ; ce qui donne (écriture fractionnaire)41/333=0,123123+(écriture fractionnaire)0,000041/333et ainsi de suite... nous avons d'après eux (écriture fractionnaire)41/333=0,123123123...

Je ne comprends pas comment c'est possible.

Serait-il possible d'avoir un raisonnement plus clair ?

Merci de votre aide.
Cordialement
Samia

[aviateur]

Bonjour D'abord il faut comprendre que le nombre x=0.123123123....s'écrit aussi

Mais on peut encore simplifier ce nombre x:


zut! c'est bon mais c'est pas ça que je voulais dire!!!

Donc en posant y=41/333 l'indication qui t'est donnée dit que
y=123/10^3+y/10^3. Donc en remplaçant y par 123/10^3+y/10^3 dans le deuxième membre de l'égalité précédente tu obtiens
y=123/10^3+123/10^6+y/10^6 et on te dit "ainsi de suite" c'est à dire qu'avec une simple récurrence tu obtiens

y=123/10^3+123^10^6+.....+123/10^{3n}+y/10^n pour tout n.

Tu peux alors faire tendre n vers l'infini et tu obtiens
(car y/10^n tend vers 0).

[pascal16]

C'est à mon avis un peu dur de suivre l'explication avec un niveau collège.

41/333 =0,123 + 0,041/333

mais 0.041 /333 vaut lui-même ( 41/333 )/1000
soit 41/333 = 0.123 +( 0,123 + 0,041/333 )/1000
41/333 = 0.123 + 0.000123 + 0.0000041/333

et de nouveau 0.0000041/333 = (41/333)/10^6
41/333 = 0.123 + 0.000123 +0.000000123+ 0.0000000041/333

[mellesamia]

Merci c'est à présent très clair.

Il me manquait une étape.

Merci !!!

[aviateur]

Effectivement @pascal16 je n'ai pas fait attention au niveau. Merci