@aviateur

[jlb]

Bonjour, j'ai cru voir un message ces derniers jours sur un " critère de continuité". Disparu ou j'ai rêvé? Je me suis creusé la tête et je pensais soumettre ce que j'ai trouvé pour savoir si cela était correct... Bon après, j'aimerai bien revoir l'énoncé!!

[Lostounet]

Bonjour, j'ai cru voir un message ces derniers jours sur un " critère de continuité". Disparu ou j'ai rêvé? Je me suis creusé la tête et je pensais soumettre ce que j'ai trouvé pour savoir si cela était correct... Bon après, j'aimerai bien revoir l'énoncé!!

Ce sujet a été supprimé par Aviateur le 3 novembre donc il n'en reste pas de trace sur le forum pour la plupart des mortels. Mais avec mon superpouvoir je peux le faire revenir:

Bonjour j'ai vu cela quelque part.
" si f (E,d) vers (E',d') est une application injective qui envoie tout compact de (E,d) sur un compact de (E',d') alors elle est continue sur (E,d)."
[...]

Est-ce lui?

[jlb]

oui!! merci.

[aviateur]

Désolé oui c'est cela. Je l'ai retiré parce que la réponse a été donnée mais pas ici.
Tu peux soumettre ici si tu veux.

[Ben314]

Ca doit se faire relativement facilement en utilisant le critère séquentiel de continuité et un utilsant le fait que l'ensemble des termes d'une suite convergente plus sa limite, ça fait systématiquement un compact.
A mon avis, le seul truc un peu chiant à rédiger proprement (mais trivial intuitivement parlant), c'est qu'on peut se contenter d'étudier les suites convergentes injectives histoire d'utiliser facilement l'injectivité de f.

[aviateur]

Bonjour
Voici la solution que quelqu'un avait donné et que j'ai arrangé un peu car on ne voyait pas où l'injectivité intervenait.
Soit une suite qui converge vers dans E . On considère le sous-ensemble B de E (resp. C de E') défini par
par et
B est un compact de E et alors C=f(B) est un compact de E'.
Il faut montrer que la suite converge vers Ce qui revient à montrer dans notre cas à montrer que f(x) est la seule valeur d'adhérence de C.
On introduit les sous-ensembles de C définis par qui sont eux aussi des compacts.
Si une sous-suite de converge vers un certain il en est de même pour toute suite de et comme les sont des compacts on en déduit que la suite prend une infinité de fois la valeur ou bien
Mais si la suite prend une infinité de fois la valeur d'après l'injectivité de f, la suite prend une infinité de fois la valeur mais alors et . cqfd