Exercice sur les congruences (spécialité math)

[maxxxp]

Pouvez-vous m'aider à résoudre dans Z l'équation : 3x²-3x+4 congru à 0(7) avec un tableau

merci .

[capitaine nuggets]

Salut !

Un petit "bonjour", non ?
Pourquoi "avec un tableau" ?
En remarquant que , cela revient à résoudre .
Essaie donc tous les restes possibles de la division euclidienne de par !

[Viko]

factorise ton polynôme, si que peux-tu en déduire sur a et b ? puis conclue

[Lostounet]

factorise ton polynôme, si que peux-tu en déduire sur a et b ? puis conclue

Euh... non.
Pas au lycée.. et pas si vite.
Il y a une justification à fournir (anneaux intègres hors programme au lycée).

[Viko]

je pensais simplement à comme 7 est premier, mais vu que le polynôme est à racine compelxe c'est vrai qu'on s'éloigne un peu (beaucoup) du spectre du lycée ^^

[Lostounet]

je pensais simplement à comme 7 est premier, mais vu que le polynôme est à racine compelxe c'est vrai qu'on s'éloigne un peu (beaucoup) du spectre du lycée ^^

Si a=14 et b=14, ab=0[mod 7] mais ni a ni b ne vaut 7 ...? Tu voulais dire autre chose alors..

Maisje ne vois pas comment tu conclus car le polynôme déjà n'est pas un produit de facteurs.. et même si c'était le cas tu aurais quand même des valeurs à tester non?

[Viko]

je voulais dire et aprés si on a facotrisé le polynôme comme sa (x+r)(x+r')on est ramené à ou ce qui n'est pas du tout difficile à résoudre mais vu que r et r' sont des complexes je ne sais absolument pas si on peut procéder ainsi (mes connaissances ne arithmétique s'arrête à la terminale spé math pour l'instant )

[Lostounet]

Et si tu as une factorisation du style:
(2x+1)(3x-1)=0 ?

R et r' même réels, n'ont aucune raison d'être des entiers relatifs déjà.

Plutôt que de résoudre deux équations diophantiennes...il vaut mieux tester rapidement pour x dans un tableau.

[Viko]

dans ce cas 2x+1=7k ou 3x-1 = 7k et on résout mais sa va être un peu long !

[Viko]

oui je suis d'accord avec toi cette méthode est bcp bcp bcp plus longue que de simplement utiliser un tableau.
Mais est-ce qu'elle fonctionne ? (je ne connais pas la réponse) et que sa passe-t-il lorsque ?
car si on se trouve avec qlq chose de la forme utiliser un tableau va être un peu compliqué

[Lostounet]

dans ce cas 2x+1=7k ou 3x-1 = 7k et on résout mais sa va être un peu long !

Oui ..deux équations diophantiennes.

Et pour x^2-2=0(mod 7) ? ...

Bon moi je pense que c'est pas adapté comme méthode.. mais après. Surtout qu'elle marche que parce que 7 est premier.

[Lostounet]

oui je suis d'accord avec toi cette méthode est bcp bcp bcp plus longue que de simplement utiliser un tableau.
Mais est-ce qu'elle fonctionne ? (je ne connais pas la réponse) et que sa passe-t-il lorsque ?
car si on se trouve avec qlq chose de la forme utiliser un tableau va être un peu compliqué

Une idée peut-être
Si ax^2+bx+c=0(mod n) avec n grand prenons 30 pour fixer les idées alors

Ax^2+bx+c=2*3*5k
Donc 2 divise ax^2+bx+c
3 divise ax^2+bx+c
5 divise ax^2+bx+c

Ce qui permet de faire des tableaux plus petits et de croiser les résultats à la fin... avec le théorème des restes chinois.

Par exemple si on trouve x=1(mod 2)
X=3 (mod5)
X=..blabla (mod 3)

Alors x ...(restes chinois) qui sera donné à la fin.
La difficulté réside bien entendu dans les diviseurs non premiers qui vont apparaitre et qui rendent la méthode laborieuse.