Groupe abélien fini

[mathematixe]

Bonjour encore,

J'ai un DM et je n'arrive pas à le commencer..
Soit (G, . ) un groupe abélien fini possédant un neutre.
Montrer qu'il existe un n dans N*tel que pour tout x de G, x^n = e

[mathematixe]

Dites moi si je me trompe, prenons le sous-groupe engendré par x. En regardant e, x , x^2, x^3, x^4....... c'est un nombre infini d'élément de ce sous groupe, or le sous groupe engendré par x est de cardinal fini car sous groupe de G, et G de cardinal fini.

Donc il existe i<j tq x^i=x^j
x^i.x^(-i)=x^j.x^(-i)
e=x^j-i avec j-i>0 donc il existe n dans N* tq pour tout x de G, x^n=e

[Pseuda]

Bonsoir,

Ca ne va pas. Tu as démontré que pour tout x, il existe n tel que x^n=e. Et il faut démontrer qu'il existe n tel que pour tout x, x^n=e. L'ordre des quantificateurs n'est pas le même.

[Viko]

Comme G est fini on peut passe d'un résultat à l'autre en effet :
G est de cardinal fini donc tel que :



soit on note :



on pose alors

on a alors

or par définition de , et il est clair que divise

ainsi
d'où le résultat

[Ben314]

Salut,

Le principe est pas con, mais là, ton A, il est clairement égal à N tout entier vu que pour tout p dans N, il existe un x dans G (à savoir x=e) tel que x^p=e...
Ce qu'on peut éventuellement faire, c'est, pour tout de choisir un (faut évidement pas prendre 0) tel que (un tel existe grâce à l'argument de mathematixe) puis faire le produit (fini) des (ou alors prendre leur ppcm, ça revient au même).

[Viko]

En effet j'avais pas pensé à ça, je réctifie !