Equations differentielles

[makak06]

Salut a tous, bon voila j'ai un probleme de maths et je dois vous avouez que je bloque un peu beaucoup, voici l'enoncé :

Lorsqu'une substsance médicamenteuse est injectée directement dans le sang, on considere que sa vitesse d'élimination est, a chaque instant, proportionnelle a la quantité de substance rémanente a cet instant:
Si l'on note y(t) la quantité présente a l'instant t, alors, pour tout t :
y'(t) = - ay(t) où "a" est une constante.

1) Si Q est la quantité de substance injectée à t = 0, exprimer y(t) en fonction de Q, a et t.

2) Pour réaliser l'anesthésie d'un petit animal, il faut 30 mg de penthotal par kilo de l'animal, et la moitié du produit est éliminé en 4 heures.
Dans le cas d'une operation durant 1H30 et pratiquée sur un chat de 4kg, évaluer la dose necessaire à l'anesthésies, pour le vtérinaire.

3) Une dose d'un médicament est administrée à un malade. Au bout de 2heures, sont organisme en contient encore 30 mg/L et , au bout de 48 heures, 28 mg/L. Pendant combien de temps ce médicament reste t-il efficace ? (on considere que le médicament reste efficace tant que ton taux est supérieur a 5 mg par litre de sang)

Merci d'avance pour votre aide qui m'ai tres precieuse !!

[Quidam]

Si tu n'as pas vu les exponentielles, il est impossible que tu résolves ce problème.
Je pense donc que tu les as vues ; et par conséquent tu as dû voir cinq ou six exemples de résolutions du genre d'équations y'=ky ! Si tu poses la question, c'est que tu n'as pas encore lu ton cours, car la solution s'y trouve...Ou alors, c'est une histoire de difficulté d'application.
Alors, après avoir vu ton cours, dis nous ce que tu as fait, on te dira si c'est bon ! Et on t'aidera si c'est encore nécessaire !

[makak06]

OK, tres bien merci,

J'ai deja relu mon cours, mais bon un peu difficil a comprendre, pour la 1 j'ai trouvé...

y=Q e^(-at)

Est-ce juste ? En revanche pour les autres questions...je ne vois pas du tout :mur:

Merci d'avance

[Quidam]

y=Q e^(-at) Est-ce juste ?

Oui, c'est correct !

2) Pour réaliser l'anesthésie d'un petit animal, il faut 30 mg de penthotal par kilo de l'animal, et la moitié du produit est éliminé en 4 heures.
Dans le cas d'une operation durant 1H30 et pratiquée sur un chat de 4kg, évaluer la dose necessaire à l'anesthésies, pour le vtérinaire.

La question 2) n'est pas bien posée, contrairement à la question 3. Ici on dit que le chat pèse 4 kg, il faut donc 4*30mg. Je suppose que cela signifie que la dose doit à tout moment être supérieure à 120mg pour le chat. Mais c'est quand même mal posé. Enfin admettons. Dans ce cas, cela veut dire que l'on doit administrer une dose suffisante pour qu'au bout de 1H30, il reste encore 120mg dans l'organisme du chat.
On sait aussi que la moitié du produit est éliminée en 4 heures.
Cela veut dire que , d'une part, qu'au temps t=0, on a Q, et au temps 4 on a
Or au temps 4 on a aussi
Ceci permet de trouver la valeur de a :



En prenant le logarithme des deux membres on déduit :
et donc
En reportant a dans la formule on trouve donc :


ou encore :

Au bout d'une heure 30 minutes (soit 1,5 heure), on aura :


Si l'on veut donc que y>120, il faut alors que soit 155mg environ.
Je te laisse faire le 3) ; c'est exactement le même principe.

Débutant en "exponentielles", tu dois trouver ces calculs assez compliqués. Mais il faudra t'y faire, peu à peu !

Toutes les formules que j'ai employées ici, sont explicitement dans ton cours ! Il faut simplement que tu t'y habitues ! Et je sais que ce n'est pas instantané !

[makak06]

Ok merci beaucoup, j'ai plus ou moin compris, mais...Ya quelque chose qui me chagrine quand meme :hein:

Je n'ai pas encore vu les logarithmes dans mon cours, donc : Est-ce la seul facon de resoudre le probleme ? Je ne voudrais pas utiliser des methodes que je n'ai pas encore vu, si d'autre methode plus simple me permettent de résoudre le probleme...Peut etre que mon professeur a faire exprès, pour commencer a nous initier...?

Merci d'avance, et pour la 3, je chercherais :++:

PS : Disons que j'ai tout compris mis a part quand vous utilisez les Ln

[Quidam]

Ben je m'en doutais un peu ! Le logarithme est tout simplement la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Si , alors . Dire l'un ou dire l'autre c'est exactement la même chose ! Alors, tu peux aussi bien ecrire ! Donc effectivement, on peut aussi bien remplacer toutes les occurences de par dans la démonstration que je t'ai donnée.

On peut aussi dire, et ça aussi c'est dans le cours du début des exponentielles, que la fonction c'est une fonction qui a la propriété que , pour une certaine valeur de ne dépendant que de P.
En effet :

Alors
et etc...
En particulier, pour P=1, f(x+1)=Q*f(x), f(x+2)=f(x+1+1)=Q*f(x+1)=Q²*f(x)
etc...
D'une façon générale, la fonction exp peut toujours s'écrire :


Donc en posant , la fonction s'écrit aussi

Alors, tout le problème est de déterminer la valeur de lambda.

Pour revenir au problème que l'on t'as donné, tu sais que la solution est une fonction exponentielle, donc tu sais que ...pour une certaine constante k, qui reste à déterminer. Le choix de l'unité de temps n'a pas d'importance. En effet, supposons que tu ais trouvé que la formule était pour une certaine valeur de k, si le temps est exprimé en heures. Si tu changes d'unités, par exemple, tu décides de mesurer le temps en minutes : . Alors, tu peux immédiatement avoir ton expression de Q en fonction de t' :

Donc en posant , ta formule devient . Ta formule a toujours la même tête. Dès lors, supposons que tu choisisses une unité simple qui divise les deux temps que l'on t'a donnés : 1,5 heure pour le temps de l'opération et 4 heures pour le temps au bout duquel le produit a été divisé par 2. Par exemple, la demi-heure. Le temps pour l'opération est 3 unités. Le temps au bout duquel la quantité de produit est divisée par deux est 8. Soit alors k le facteur à appliquer dans cette unité (k est inconnu pour l'instant).
Tu peux dire : , t étant exprimé en "demi-heures".
Le fait qu'au bout de 8 unités, la quantité de produit soit divisée par 2, montre que :

donc tu peux déterminer k :
ou ou ou
Et finalement, au bout d'une heure et demie, soit trois unités de temps (t=3), la quantité restante sera :


Finalement tu n'as pas besoin du "logarithme" pour donner le résultat ! Mais tout cela nécessite une certaine aisance dans la manipulation des exponentielles, aisance que tu n'as probablement pas encore acquise du fait que tu débutes avec cette nouvelle fonction !

[makak06]

Ok, merci beaucoup, effectivement, c'est un peu plus compliqué, mais ca reste encore compréhensible pour moi :we:

Merci encore !!

[makak06]

J'ai une question toute bete :

Sur la calculette comment taper exp-1 (y) ?

[Quidam]

J'ai une question toute bete :

Sur la calculette comment taper exp-1 (y) ?