PGCD et famille d'entiers

[Ncdk]

Bonjour,

Soient et , et des entiers premiers entre eux deux à deux.

1- Montrer que .
2- En déduire que lorsque ,

J'ai fait tout un tas de bêtise sur mon brouillon, j'arrive même pas à avoir ne serait-ce qu'une idée pour démarrer l'exercice...

[jlb]

Bonsoir, tu as trouvé la question 2)?
Pour la 1): montre que le membre de gauche divise le membre de droite et vice versa ( mais attention à ne pas raconter n'importe quoi!!) Je te conseille de commencer par membre de droite divise membre de gauche, ce n'est pas trop dur, il a deux arguments à fournir. Pour membre de gauche divise membre de droite, utilise la décomposition en facteurs premiers du membre de gauche. Bonne recherche.

[Ncdk]

Salut,

Merci pour l'idée, je vais essayer de faire ça alors. En revanche, dans mon cours, il est fait de façon que les exercices à faire sont à chercher avec les définitions / théorèmes qui précédent, la décomposition en facteurs premiers ça vient plus tard dans le cours, est-ce que c'est le seul moyen ou il y en a d'autres ?

La question 2) je n'ai pas regardé, j'ai pensé à me servir du Lemme de Gauss, au vu des suppositions de l'exercice.

[jlb]

la 2) c'est super simple!!! soit i dans [|1;n|] si bi divise a, c'est quoi le PGCD(a,bi) ?
Du coup, c'est quoi le membre de droite dans la question 1)? et tu as ta réponse!!

pour la 1) comme ça, certainement, il faut voir... ou pas.

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour simplifier, prenons b et c (et on peut raisonner par récurrence avec les b_i). Quelques idées.

Dans le sens droite divise gauche, Si b et c sont premiers entre eux, alors PGCD(a,b) et PGCD(a,c) sont premiers entre eux. Et il est évident que PGCD(a,b) divise PGCD(a,bc). Et utiliser une propriété qui découle du th. de Gauss.

...............

[jlb]

Bon, j'ai une solution tout bête qui permet de conclure dans les deux sens!!

pour i appartenant à [|1;n|], appelons di le pgcd de a et bi, alors il existe ui et vi tels que di=aui +bivi

du coup d1....dn=(au1+b1v1).....(aun+bnvn) et il existe ( on développe le produit) U et V tel que
d1...dn=aU +b1...bnV donc le pgcd de a et b1b2...bn divise d1....dn

Pour l'autre sens, il suffit d'utiliser le même argument pour montrer que chaque di divise le membre de gauche et après bien observer les di!!


Aux modérateurs: bonsoir, peut-on effacer un message? j'ai souvenir que c'était possible avant, non?

@Pseuda: oh, tu sais, je ne vais pas t'accabler, crois-moi!!!

[Pseuda]

C'est faux bien entendu. Je rectifie cette énormité écrite trop vite.

[Pseuda]

Pour ma peine, je propose une démonstration dans le sens gauche divise droite :

On pose PGCD(a,b)=k. Alors a=ka' et b=kb' avec a' et b' premiers entre eux.
PGCD(a,bc)=PGCD(ka',kb'c)=... et on remarque que PGCD(a',b'c) = PGCD (a',c) (car a' et b' premiers entre eux) et que PGCD(a',c) | PGCD (a,c) (car a'|a). Sauf erreur.

Pas vu le message de jlb. Je laisse.

[Pseuda]

@jlb Bien vu. C'est tout simple et très rapide avec Bézout.

[Lostounet]

Aux modérateurs: bonsoir, peut-on effacer un message? j'ai souvenir que c'était possible avant, non?

Hi

Quel message voudrais-tu effacer? Il y a le "X" sur chaque poste qui permet de supprimer des messages.

[jlb]

salut, j'ai du coup changé le contenu!! ( un intervenant avait fait une boulette, je lui ai signalé et il a corrigé, du coup mon message n'avait plus lieu d'être. merci, à bientôt. je pars à la recherche du "X" magique!!

[Ncdk]

Salut,

Merci pour votre aide, j'ai essayé de faire de droite à gauche.

Si on suit un peu le même raisonnement, on suppose que et par la relation de Bézout on a .
Or, où . donc le .
De la même manière, ...

Donc

( ça me parait faux ! enfin il faudrait peut-être se servir de l'hypothèse 2 a 2 premiers )

Tant que j'y suis, pour la 2), je pense que c'est bon, je mets mon raisonnement quand même au cas où il y a un problème de rédaction.

Soit pour tout
Comme alors .
On applique le produit des deux côtés sur , donc on a :

Par 1) on a que

Conclusion : donc clairement

[Pseuda]

Salut,

Merci pour votre aide, j'ai essayé de faire de droite à gauche.

Si on suit un peu le même raisonnement, on suppose que et par la relation de Bézout on a .
Or, où . donc le .
De la même manière, ...

Donc

( ça me parait faux ! enfin il faudrait peut-être se servir de l'hypothèse 2 a 2 premiers )

Bonsoir,

Cela me paraît juste à condition de dire que comme les sont premiers entre eux, alors les sont premiers entre eux.