Analyse réel - Théorème de Convergence Monotone

[Bigorneau]

Bonsoir,

Je sollicite votre aide pour m'aider à finaliser la preuve du théorème de convergence monotone (sans utiliser le lemme de Fatou).

Enoncé : Soient une suite croissante de fonctions positives mesurables, tel que tend vers presque partout. Alors

Voici mon raisonnement en 7 étapes :

1) On considère une fonction simple tel que est borné.

2) On définit .

3) Puisqu'il existe tel que pour tout x, nous avons (pour le prouver j'utilise le théorème d'Ergorov)

4) Par construction , donc

5) Donc

6) En observant que
simple , simple simple et borné . Où est la boule fermé centrée en 0 et de rayon M.

7) En prenant le supremum sur . Nous avons

Donc


Y-a-t-il une erreur quelque part ? Notamment sur l'argument 6) ?

Je vous remercie d'avance pour vos commentaires.

[aviateur]

Bonjour
Dans ce genre de question je ne me pose pas de questions: je lis pas à pas.
Et boum! Qu'est ce que c'est que E ? Je suis largué.
Peux tu préciser?

[Bigorneau]

Bonjour,

Merci, en effet voici la précision : mesurable, ou même avec .
Egalement, ici l'intégral dénote l'intégral de Lesbesgue.

[zygomatique]

salut

1/ qu'est-ce qu'une fonction simple ?

2/ (et 3/) ne faut-il pas que phi soit mesurable ? (et alors phi_n le sera)

3/ pourquoi M existe-t-il ?

[Bigorneau]

Bonsoir,

1/ 2/ 3/ 4/ : Fonction simple sur (mesurable) = fonction défini comme la somme (finie) de fonctions indicatrices définies sur des sous-ensembles de .
Il s'en suit que M existe et que les fonctions simples sont mesurables.

En fait, si vous préférez j'ai vu que parfois les gens parlaient de fonctions étagées.

[zygomatique]

ok merci ... oui fonctions étagées ... ce qui répond à toutes mes questions ...