Bonsoir,
Je sollicite votre aide pour m'aider à finaliser la preuve du théorème de convergence monotone (sans utiliser le lemme de Fatou).
Enoncé : Soient une suite croissante de fonctions positives mesurables, tel que tend vers presque partout. Alors
Voici mon raisonnement en 7 étapes :
1) On considère une fonction simple tel que est borné.
2) On définit .
3) Puisqu'il existe tel que pour tout x, nous avons (pour le prouver j'utilise le théorème d'Ergorov)
4) Par construction , donc
5) Donc
6) En observant que
simple , simple simple et borné . Où est la boule fermé centrée en 0 et de rayon M.
7) En prenant le supremum sur . Nous avons
Donc
Y-a-t-il une erreur quelque part ? Notamment sur l'argument 6) ?
Je vous remercie d'avance pour vos commentaires.