Salut,
Perso, le résultat donné par vito, je l'ai jamais vu comme un "théorème", mais tout au plus comme une "astuce de calcul", exactement comme la mise sous forme canonique d'un trinôme du second degré que j'appèlerais pas non plus un "théorème". Dans les deux cas, il n'y a aucune "preuve" à fournir : juste une série de calculs.
Bref, quand tu as une expression de la forme
=A\cos(x)\!+\!B\sin(x))
, le truc qu'il faut se dire, c'est que ça se simplifierais grandement si on avait
)
et
)
vu que
\cos(x)\!+\!\sin(\varphi)\sin(x)\!=\!\cos(x\!-\!\varphi))
.
Sauf que s'il existait
tel que
et
, ça voudrait dire que le point
)
est sur le cercle trigo. donc que le vecteur
est unitaire (soit encore que
) ce qui n'est pas forcément le cas.
Mais d'un autre coté, c'est pas compliqué de rendre un vecteur
unitaire : il suffit de le diviser par sa norme
donc ce qu'il faut écrire, c'est que
=\sqrt{A^2\!+\!B^2}\Big(\dfrac{A}{\sqrt{A^2\!+\!B^2}}\cos(x)\!+\!\dfrac{B}{\sqrt{A^2\!+\!B^2}}\sin(x)\Big))
puis que le point
)
est sur le cercle trigo donc qu'il existe
tel que
)
;
)
et donc
=\sqrt{A^2\!+\!B^2}\big(\cos(\varphi)\cos(x)\!+\!\sin(\varphi)\sin(x)\Big)=\sqrt{A^2\!+\!B^2}\cos(x\!-\!\varphi))
(et évidement, dans les exercices "gentils" comme ici, le point
)
est un point "classique" du cercle trigo.
Bon, sinon, si je poste, c'est pas uniquement pour dire que le "truc" de vito, c'est pas un théorème, mais surtout pour dire que, une fois qu'on a fait le calcul çi dessus, ben faut vraiment pas être futé pour calculer la dérivée de f(x) en prenant la formule
: avec la formule
\!=\!\sqrt{A^2\!+\!B^2}\cos(x\!-\!\varphi))
, c'est bien plus simple à dériver et même... y'a pas besoin de dériver quoi que ce soit... vu que ça varie clairement de
(quand le cosinus vaut -1) à
(quand le cosinus vaut +1).
