Exprimer (X1+...Xn)^k comme somme sur les applications ..

[MoonX]

Bonjour,

Voici mon problème :
Soient . On note l'ensemble des applications de dans .

Montrer que

Je vois bien à un niveau intuitif que pour développer il faut faire toute les combinaisons possible de . Mais je n'arrive pas à le démonter...

Je vous remercie par avance !

[Skullkid]

Bonjour, ça marche pas mal par récurrence sur k. L'étape à justifier proprement va consister à exhiber une bijection entre et .

[aviateur]

Bonjour
Pour ma part je ferai une démonstration par récurrence sur k. Tu peux essayer de commencer,

[aviateur]

Excuses j'ai pas vu le message précédent. Donc "c'est comme il a dit"

[MoonX]

Merci pour vos réponses !
Finalement, en établissant une bijection entre et ont peut établir le résultat sans réccurence avec ce que vous m'avez proposé !
Merci beaucoup à vous deux

[Skullkid]

Pour le coup j'ai du mal à voir comment on peut utiliser cette bijection pour démontrer la formule de base... tu remplaces la somme sur les applications par une somme sur les multi-indices, mais comment fais-tu le lien avec le membre de gauche ?

[aviateur]

Bonsoir Je pense aussi comme @Skullid.
C'est vraiment l'exercice type où on aimerait voir la rédaction pour être bien convaincu.

[Pseuda]

Bonjour,

Je ne crois pas qu'il faille le démontrer par récurrence ou une démonstration formelle, mais plutôt par une description des applications .

Un essai de démonstration : est un produit de facteurs composés chacun de n termes. Quand on développe, on réalise tous les produits en choisissant dans chaque facteur (il y en a k) un terme parmi n. Chaque terme du produit développé est ainsi composé du produit de k , chaque étant pris parmi les . Il est donc égal à avec une application de [1,k] dans [1,n]. En réalisant tous les produits, on réalise toutes les applications, et on en fait la somme.

Grosso modo, il faut montrer (oups déjà dit) la bijection qu'il y a entre un terme du produit développé et une application de [1,k] dans [1,n].

[MoonX]

Voici ce que j'ai fais :

On note l'application qui va de dans définie par : . Elle est bien sûr bijective.

Ainsi, la somme se réécrit :


La somme étant finie, on peut transformer cette somme en :

Ce qui est bien égal à ce que l'on cherchait.

[Skullkid]

Ça marche !

[Ben314]

Salut,

Soient . On note l'ensemble des applications de dans .

Si ça t'intéresse, de façon générale, si et sont deux ensembles (quelconques, finis ou pas), on note l'ensemble des applications de dans .
Donc le de ton exercice, on peut directement le noter et la bijection dont tu parle ci dessus, c'est donc une bijection de sur et avec ces notations là, ça parait assez "normal" comme bijection...

Sans parler bien sûr du fait que, si et sont des ensembles finis, le cardinal de , c'est à dire le nombre d'applications de dans , c'est le cardinal de à la puissance le cardinal de ce qui de nouveau rend parfaitement logique la notation .

[MoonX]

Merci pour ces précisions.
Je connaissais cette notation, mais cet exercice est tiré d'un sujet (X 2008 maths 2 pour ceux intéressés) et j'ai réutilisé leurs notations.
Mais en tout cas merci pour l'explication sur la notation, ça me permet d'avoir un petit moyen mnémotechnique pour l'ordre des ensembles ! (je veux dire par là, le Y en "exposant")

[aviateur]

D'accord @pseuda on n'a pas vraiment besoin de récurrence et ta démonstration est plus littérale.
Mais avec une démonstration par récurrence cela demande plus de technicité et c'est une autre façon de rédiger:
On désigne par H la bijection de définie par
où est la restriction de à [[1,k]] et
on a:

[Skullkid]

Le souci quand on demande de démontrer ce genre de choses "évidentes" — dans le sens où, relativement tôt dans le supérieur, écrire l'égalité en question sans démonstration ou en se contentant simplement d'un "on fait toutes les combinaisons possibles" est tout à fait acceptable — c'est qu'on risque fort de ne pas réussir à se limiter à des arguments "strictement plus évidents" que ce qu'on cherche à démontrer.

Dans ces cas-là, ce qui marche à tous les coups est de se rabattre sur une démonstration la plus formelle possible, en appliquant mécaniquement les principes de base. En ce sens je pense que personne ne pourrait pinailler sur la rédaction donnée par MoonX, grâce à la présence de l'expression intermédiaire . En revanche face à une rédaction "explicative" comme celle de Pseuda, en tant que correcteur je serais face à un dilemme : d'un côté il ne fait aucun doute en la lisant que l'auteur a compris, mais d'un autre côté est-ce qu'on peut vraiment dire, compte tenu du niveau de la question, qu'on a vraiment démontré, ou est-ce qu'on a juste "donné l'idée" de la démonstration ?

Et là compte tenu que c'est une question de concours et que toute occasion de faire surgir une différence de 0,1 point entre les candidats est à saisir, ça ne m'étonnerait pas qu'on puisse explicitement demander aux correcteurs de ne pas donner la totalité des points si la démo laisse la moindre ambiguïté. C'est peut-être un peu hypocrite vu que, encore une fois, si on écrivait l'égalité de but en blanc sans justification dans le cadre d'une question plus compliquée, ça ne gênerait sans doute personne, mais bon...

[Ben314]

Et là compte tenu que c'est une question de concours et que toute occasion de faire surgir une différence de 0,1 point entre les candidats est à saisir, ça ne m'étonnerait pas qu'on puisse explicitement demander aux correcteurs de ne pas donner la totalité des points si la démo laisse la moindre ambiguïté. C'est peut-être un peu hypocrite vu que, encore une fois, si on écrivait l'égalité de but en blanc sans justification dans le cadre d'une question plus compliquée, ça ne gênerait sans doute personne, mais bon...

Certes, ça peut être une éventualité (qu'on ne donne pas tout les points à celui qui ne rédige pas "archi bien").
Mais perso., vu ce que j'ai vu passer comme barème de concours, il me semble bien plus probable que la question vaille "pas grand chose" et qu'en conséquence, d'y passer plus que les 30 secondes nécessaires, c'est pas rentable vu ce que ça rapporte.
En concours, savoir gérer le temps, c'est extrêmement important et il ne faut jamais perdre du temps sur des questions faciles.

[Pseuda]

Bonjour,

J'ai essayé d'écrire tout haut le raisonnement que tout le monde fait rapidement tout bas, mais je suis d'accord pour dire qu'il ne faut pas passer trop de temps à formaliser la démonstration, qui risque de devenir moins compréhensible que le raisonnement de base, et qu'il faut juste bricoler une démonstration à peu près convenable qui montre qu'on a compris.

Après, cela dépend du contexte je pense, question isolée d'oral (il faut développer) ou question perdue au milieu des autres dans un écrit (il faut passer vite).

[Skullkid]

Oui la philosophie à adopter va fortement dépendre du contexte.

Du coup par curiosité je suis allé voir le sujet complet (détail amusant, c'était celui de mon année, mais ma mémoire me fait défaut et je ne saurais dire si ma réponse à la question était plutôt formelle ou plutôt explicative) et en gros le sujet est très porté sur le dénombrement, avec des questions relativement indépendantes les unes des autres, en tout cas dans cette partie du sujet. Peut-être étonnamment, la question qui nous intéresse se trouve plutôt vers la fin (question 10 sur un total de 14 — je m'attendais plutôt à voir un label du genre I-1-a) et elle est posée juste après avoir fait démontrer la formule du multinôme.

Il n'y a pas de corrigé officiel, mais dans le rapport du jury on peut lire que "[la] question a troublé de nombreux candidats, proposant des démonstrations peu convaincantes." Et sur le sujet en général, le jury déplore une tendance à la désinvolture dans les démonstrations (bon je ne pense pas qu'on puisse qualifier la démonstration de Pseuda de désinvolte, elle est quand même bien détaillée) et que les notes s'en ressentent chez les candidats qui ont traité un grand nombre de questions de manière incomplète.

[Pseuda]

C'est curieux comme une démonstration littéraire paraît moins convaincante qu'une avec plus de formalisme mathématique, alors qu'elles disent la même chose. Mais ce qui est certain, c'est que pour cette dernière, il faut faire un effort supplémentaire.

Du coup, on s'interroge même sur la validité d'une démonstration uniquement littéraire, sans aucun formalisme ou notation mathématique.