Racine carrée d'un complexe

[Rana Viridis]

Bonjour,
Je ne comprends pas comment résoudre cet exercice s'il vous plaît :
Trouver une racine carrée w du nombre complexe z=−10+5i, en donnant sa partie réelle et partie imaginaire.
Donner Re(w) et Im(w).

[Lostounet]

Salut,
Pose w=a+bi
Que vaut w^2 en fonction de a et b?
Que vaut w^2 en fonction de z?

[aviateur]

bonjour
poses w=a+i b (a=re(w),....) donc w^2=a^2-b^2+2 i ab =-10+5i
équivalent à a^2-b^2=-10 et 2ab =5
Alors a^2+(-b^2)=-10 et a^2 (-b^2)=-25/4.
Poser X=a^2 et Y=(-b^2) . On connait la somme et le produit de X et Y donc ils sont solution d'une équation du second degré.
Résoudre puis remonter aux valeurs possibles de a et b.

[aviateur]

excuses moi lostounet , "télescopage"

[Black Jack]

Technique un peu différente.

OK jusqu'à obtenir :

A²-B² = -10 (1)
A.B = 5/2 (2)

Ensuite :
|w|² = |w²|= A² + B² = RCarrée(10² + 5²) = RCarrée(125) = 5 * RCarrée(5) (3)

(1) + (3) donne immédiatement 2A² = -10 + 5 * RCarrée(5)
D'où on tire les 2 valeurs possibles de A : A = +/- RCarrée[(-10 + 5 * RCarrée(5))/2]

Et en entrant ces 2 valeurs de A dans (2), on trouve les B correspondant.