Polynôme à coefficient complexe

[Rana Viridis]

Bonjour, pourriez-vous m'aider à cet exercice s'il vous plaît ?

Soit P(z)=z 3+(2−i)z 2+(2−2i)z−2i.
Le but de l'exercice est de trouver les racines de P.

1) P possède une racine imaginaire r 1. Calculer r 1.

[mathelot]

bonjour
cherche une racine évidente dans

[Rana Viridis]

C'est i ? Cela donne 0.

[capitaine nuggets]

Salut !

On te dit que admet une racine imaginaire notée . Pose donc , avec réel. Exprime alors sous forme algébrique. Tu auras alors que si et seulement si .




(arrivé ici, on peut remarquer qu'il est possible de factoriser les parties réelles et imaginaire).


(bien qu'on ait fini, je remarque que est un facteur commun donc je factorise par ce facteur ; ça va faciliter les choses).



si et seulement si on a ou (équation produit nul : si et seulement si ou ). On a alors deux cas à distinguer :
- Si alors donc est une racine de ;
- Si alors en comparant les parties réelles et imaginaires comme annoncé plus haut, on a et . Or si alors , mais n'annule pas donc il n'existe pas de réel tel que l'on ait .
En conséquence, ne peut valoir que et ainsi .