Salut !
On te dit que
admet une racine imaginaire notée
. Pose donc
, avec
réel. Exprime alors
sous forme algébrique. Tu auras alors que
si et seulement si
.
(arrivé ici, on peut remarquer qu'il est possible de factoriser les parties réelles et imaginaire).
(bien qu'on ait fini, je remarque que
est un facteur commun donc je factorise par ce facteur ; ça va faciliter les choses).
si et seulement si on a
ou
(équation produit nul :
si et seulement si
ou
). On a alors deux cas à distinguer :
- Si
alors
donc
est une racine de
;
- Si
alors en comparant les parties réelles et imaginaires comme annoncé plus haut, on a
et
. Or si
alors
, mais
n'annule pas
donc il n'existe pas de réel
tel que l'on ait
.
En conséquence,
ne peut valoir que
et ainsi
.