Je me retrouve bloqué ici :
On prend
On pose
A présent on me demande de montrer que
Et je ne vois pas comment le faire, merci d'avoir lu mon message.
Valeurs approchées de e
9 messages
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valeurs approchées de e
par Polo » 25 Oct 2017, 12:50
Bonjour, dans un exercice guidé visant à déterminer 
sous sa forme )
Je me retrouve bloqué ici :
=1-\left(\sum_{k=0}^n\frac{a^k}{k!}\right)e^{-a})
On prend
alors 
On pose=1-\left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\right)e^{-1})
A présent on me demande de montrer que
Et je ne vois pas comment le faire, merci d'avoir lu mon message.
Je me retrouve bloqué ici :
On prend
On pose
A présent on me demande de montrer que
Et je ne vois pas comment le faire, merci d'avoir lu mon message.
Re: valeurs approchées de e
par Polo » 25 Oct 2017, 13:16
Je pense avoir trouver avec une démonstration par récurrence où l'hérédité est :
e^{-1}\ge 0)
e^{-1}\ge \frac{1}{(n+1)!}e^{-1})
!}e^{-1})
d'où
C'est donc correcte ?
d'où
C'est donc correcte ?
Re: valeurs approchées de e
par Ben314 » 25 Oct 2017, 14:05
Salut,e^{-1})
à e^{-1})
il faut retrancher (et pas ajouter) !}e^{-1})
donc ce qui est vrai, c'est que
e^{-1}\ge 0\ \Leftrightarrow\ 1-\left(\sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!}\right)e^{-1}\ge -\frac{1}{(n+1)!}e^{-1})
ce qui n'avance évidement à rien vu que tout ce que tu est en train d'écrire, c'est que la suite (un) est décroissante ce qui est totalement évident.
Sinon, concernant la question elle même (i.e. comment fait on pour montrer l'inégalité en question), il y a des tas de méthodes, mais niveau Lycée, j'en vois qu'une seule d'à peu prés raisonnable : introduire une fonction auxiliaire dont on étudie le sens de variation et on en déduit l'inégalité demandée.
Et à mon avis, cette fameuse "fonction auxiliaire", elle doit être donnée dans les question précédent celle là dans l'exercice.
EDIT : En fait ta "fonction auxiliaire", c'est la fonction)
As tu calculé sa dérivée ? étudié le signe de cette dérivée (pour a entre 0 et 1) ? qu'en déduit tu ?
Non, c'est n'importe quoi : pour passer dePolo a écrit:Je pense avoir trouver avec une démonstration par récurrence où l'hérédité est :
[/tex]
C'est donc correcte ?
ce qui n'avance évidement à rien vu que tout ce que tu est en train d'écrire, c'est que la suite (un) est décroissante ce qui est totalement évident.
Sinon, concernant la question elle même (i.e. comment fait on pour montrer l'inégalité en question), il y a des tas de méthodes, mais niveau Lycée, j'en vois qu'une seule d'à peu prés raisonnable : introduire une fonction auxiliaire dont on étudie le sens de variation et on en déduit l'inégalité demandée.
Et à mon avis, cette fameuse "fonction auxiliaire", elle doit être donnée dans les question précédent celle là dans l'exercice.
EDIT : En fait ta "fonction auxiliaire", c'est la fonction
As tu calculé sa dérivée ? étudié le signe de cette dérivée (pour a entre 0 et 1) ? qu'en déduit tu ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: valeurs approchées de e
par Polo » 25 Oct 2017, 14:24
Merci effectivement j'ai ajouter c'est stupide, sinon comme autre information j'ai \, \mathrm{d}x)
Donc il faut que je montre que
est positive sur [0;1] du coup.
Donc il faut que je montre que
Re: valeurs approchées de e
par Polo » 25 Oct 2017, 14:47
Puisque =\frac{x^n}{n!}e^{-x})
=0)
Et j'ai montré ensuite que est croissante de 0 jusqu'à n pour 
Du coup\ge 0)
pour 
et 
Donc son intégrale sur [0;1] est aussi positive et du coup
J'ai fait un tableau de variations mais je ne sais pas le retranscrire ici.
Et j'ai montré ensuite que
Du coup
Donc son intégrale sur [0;1] est aussi positive et du coup
J'ai fait un tableau de variations mais je ne sais pas le retranscrire ici.
Re: valeurs approchées de e
par Ben314 » 25 Oct 2017, 14:57
A mon avis, LA fonction à étudier, c'est celle là:=\left(\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right)e^{-x})
.
Mais d'étudier uniquement=\frac{x^n}{n!}e^{-x})
, ça va te servir à rien.
(ça vient du fait que, dans la dérivée de
, il va y avoir des simplifications "magiques"...)
ou, si tu préfère (ça revient au même)Polo a écrit:
Mais d'étudier uniquement
(ça vient du fait que, dans la dérivée de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: valeurs approchées de e
par Polo » 25 Oct 2017, 15:48
J'aboutis à =-e^{-x}\left(\sum_{k=0}^n \frac{x^k(1-\frac{k}{x})}{k!}\right))
Je pense que j'ai dû loupé un truc ça me semble bizarre.
Je pense que j'ai dû loupé un truc ça me semble bizarre.
Re: valeurs approchées de e
par Ben314 » 26 Oct 2017, 22:12
Si =\left(\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right)e^{-x}=(1\!+\!x\!+\!\frac{1}{2!}x^2\!+\!\frac{1}{3!}x^3\!+\!\frac{1}{4!}x^4\!+...+\!+\!\frac{1}{n!}x^n)e^{-x})
alors
=(0\!+\!1\!+\!\frac{1}{2!}2x\!+\!\frac{1}{3!}3x^2\!+\!\frac{1}{4!}4x^3\!+...+\!+\!\frac{1}{n!}nx^{n-1})e^{-x}+(1\!+\!x\!+\!\frac{1}{2!}x^2\!+\!\frac{1}{3!}x^3\!+\!\frac{1}{4!}x^4\!+...+\!+\!\frac{1}{n!}x^n)\times (-e^{-x}))
!}x^{n-1}-1\!-\!x\!-\!\frac{1}{2!}x^2\!-\!\frac{1}{3!}x^3\!-\!\frac{1}{4!}x^4\!-...-\!\frac{1}{n!}x^n)e^{-x})
pour 
.
Modifié en dernier par Ben314 le 27 Oct 2017, 17:52, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: valeurs approchées de e
par Polo » 27 Oct 2017, 17:24
Effectivement merci, j'avais dérivé 0 . . .
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