Nombre complexe

[TS2502]

Bonjour à tous, je souhaite vous demander votre aide pour un exercice de DM que je ne parviens pas à résoudre. Je suis bloquée à la première question, ce qui m'empêche d'avancer.
Voici l'énoncé :
Soit a appartenant à pi/2 et 3pi/2 ouvert.
On cherche à déterminer le module et l'argument principal de z s'exprimant par :
z= (1+cos(2a)+isin(2a))/(cos(a)-isin(a))

Je suis parvenue à :
module de z = (e^(i0)+e^(2ia))/(e^(-ia)) = e^(i0)+e^(2ia)+e^(ia)

J'ai tenté d'appliquer la méthode de l'angle moitié avec e^(i2a)+e^(ia) mais j'obtiens des choses étranges... que voici :
module de z = e^(i0)+e^(3ia/2)*(e^(4ia/3)+e^(2ia/3)

J'ai vraiment besoin de votre aide. Merci à vous d'avance (j'espère que vous parviendrai à me relire car mon ordinateur n'a pas réussi à insérer les équations correctement)

[Mimosa]

Bonjour

et

[capitaine nuggets]

Salut !

Soit appartenant à .
On cherche à déterminer le module et l'argument principal de s'exprimant par :

Je n'ai pas compris grand chose à ton raisonnement...

On a l'écriture algébrique . En utilisant que et , déduis-en que . Déduis-en alors le module et un argument de .

[TS2502]

Bonjour,
Merci beaucoup de votre aide, je n'avais pas vu cette subtilité dans l'expression de z. Mais je vois comment vous avez fait et je vais essayer de continuer.
En fait, j'ai essayé d'écrire z sous sa forme exponentielle sauf que je n'y suis pas parvenue...
Encore merci beaucoup !

[TS2502]

Cependant, avec a appartenant à intervalle, cos(a) est négatif on ne peut donc pas dire qu'il s'agit d'une forme trigo si je ne me trompe pas ; or, il me semble que je n'ai pas le droit d'écrire que z = -2cos(a)e^(2ia) , si ?

[mathelot]

avec des exponentielles:

[TS2502]

Merci à vous

[zygomatique]

salut



or

[TS2502]

salut



or

Je ne vois pas où vous voulez en venir ?

[mathelot]

si
d'où la forme trigo de z est

[TS2502]

Je suis parvenue à ce résultat, mais je ne vois pas ce que je dois déduire de z+'z(barre)'

[mathelot]

ce qui donne avec

[TS2502]

Merci à vous, je vois

Si je puis encore me permettre de poser une question qui paraîtra peut-être bête, je souhaite exprimer mon argument, c'est-à-dire 2a+(pi) , dans l'intervalle ]-(pi) ; (pi)]
Cependant, je ne parviens à expliquer que le fait qu'il soit compris entre [0;2(pi)[
Quelqu'un aurait une méthode ou même juste une explication ?

[mathelot]

tu peux démarrer de l'encadrement
pour construire un encadrement de

[TS2502]

C'est ce que j'ai fait, et j'obtiens qu'il appartient à [0;2(pi)[

[mathelot]

C'est ce que j'ai fait, et j'obtiens qu'il appartient à [0;2(pi)[

bah non

[TS2502]

Mais cela ne revient pas au même ? Quand je regarde sur le cercle, il me semble que cela revient à être entre 0 et 2(pi)

[capitaine nuggets]

Cependant, avec a appartenant à intervalle, cos(a) est négatif on ne peut donc pas dire qu'il s'agit d'une forme trigo si je ne me trompe pas ; or, il me semble que je n'ai pas le droit d'écrire que z = -2cos(a)e^(2ia) , si ?

Oui, il y a une subtilité. Que vaut le module de ? En factorisant alors l'expression de par son module , trouve un argument de tel que l'on ait . De manière générale, tous les sont des arguments de , donc si tu veux que l'argument de soit dans la mesure principale, résous dans la double inéquation d'inconnue : .

[TS2502]

Merci du conseil, j'essaie cela tout de suite

[mathelot]

Mais cela ne revient pas au même ? Quand je regarde sur le cercle, il me semble que cela revient à être entre 0 et 2(pi)

oui , au temps pour moi. Il suffit de soustraire
l'argument principal est