Bonsoir,
pendant ma sieste, je me souvenu d'une phrase "C est algébriquement clos".
Je me suis dit, c'est vrai, mais ne va-t-on pas un peu vite dans la construction des ensembles.
Pour l'instant on dit que
N est créé par des axiomes (ppe, infinité, ordre total)
N devient Z par 'symétrisation', (Z,+) est un groupe
Z devient Q par recherche d'inverse par la loi * (Q,+,*) est un corps
et là on décide d'inclure les limites des suites de Q pour en faire R en disant que X²=2 n'a pas de solution dans Q.
puis i²=-1 nous apporte C.
mais attendez, on a sauté une étape
X²=2 n'a pas de solution dans Q, il faudrait donc d'abord trouver un ensemble qui contient Q et toutes les racines des polynômes de degré fini de Q. On sent les racine pièmes arriver et autres chiffres difficiles à écrire dont on ne connait qu'une approximation par développement décimal.
Pi n'est pas à ma connaissance, racine d'un polynôme à coefficient rationnel. Il y a donc un ensemble oublié au milieu de tout ça qui est loin d'être R.
Je me renseigne un peu, la clôture algébrique de Q existe... mais on ne sait pas la représenter ! On la note Q barre, clôture algébrique de Q (notation pas top car ce n'est pas l’adhérence de Q). Elle est dénombrable sous prétexte que c'est une union dénombrable de parties de Q. Ce qui veut dire au passage que les nombre réels qui ne sont pas racine de polynômes à coefficient rationnels (ou entiers relatif car c'est la même chose) sont ultra majoritaires dans R.
D'où ma question : est-ce que certains ont eut des résultats intéressants sur ce sujet, ou ont quelques mots ou noms qui me permettraient de trouver quelques résultats sympas sur la clôture algébrique de Q ?