Fonctions

[neoxa]

Bonjour,
Alors j'ai une question d'un exercice sur laquelle je ne suis pas sur d'avoir bon. Puis le début d'un exercice mais je suis bloqué

1)Pour tout nombre réel x, on a 7/(4+2x²) <= 2

Je dois affirmé si la question est vrai ou fausse.

J'ai mis que c'était vrai en fesant :
x²=>0
2x²=>0
4+2x²=>4
1/(4+2x²)<=1/4
7/(4+2x²)<=7/4

voilà du coup j'aimerai savoir si j'ai bon pour celle-ci.

Puis pour l'exercice sur lequel je suis bloqué l'énoncé est le suivant:
X désigne un nombre réel non nul. Comparer x³ et 1/x selon les valeurs de x.

Alors j'ai commencé l'exercice et j'ai nommé la fonction cube g(x) et la fonction inverse f(x). Puis j'ai commencé à chercher quand g(x) <= f(x), du coup j'ai fais la différence entre g(x) et f(x) et j'ai obtenue (x⁴-1)/x. Et à partir de là je suis coincé

[Polo]

Tu peux utiliser une identité remarquable sur

[Lostounet]

1)Pour tout nombre réel x, on a 7/(4+2x²) <= 2

Je dois affirmé si la question est vrai ou fausse.

J'ai mis que c'était vrai en fesant :
x²=>0
2x²=>0
4+2x²=>4
1/(4+2x²)<=1/4
7/(4+2x²)<=7/4

voilà du coup j'aimerai savoir si j'ai bon pour celle-ci.

é

Oui tu as bon! Car tu as prouvé que 7/(4+2x^2)<=7/4

Mais n'oublie pas que 7/4 <= 8/4 (et 8/4=2)
Donc 7/(4+2x^2)<=2.

Pour le second exercice il faut étudier le signe de la différence. Pour quelles valeurs de x on a un signe positif? Négatif? Etc.

Trace les deux fonctions pour vérifier

[neoxa]

Je sais que la fonction cube est croissante sur
]-l'infinie; +l'infinie [ (en passant par zéro)

Et que la fonction inverse est décroissance sur]-l'infinie; + l'infinie[ (et ne passe par zéro)

Du coup j'étudie le signe de (x⁴-1)/x

[pascal16]

Et que la fonction inverse est décroissance sur]-l'infinie; + l'infinie[ (et ne passe par zéro)

nnnnnnnoooonnnnnnnn

décroissante sur ]-oo;0[
décroissante sur ]0;+oo[
non définie en 0.
il faut donc faire une coupure en 0.

[Lostounet]

Je sais que la fonction cube est croissante sur
]-l'infinie; +l'infinie [ (en passant par zéro)

Et que la fonction inverse est décroissance sur]-l'infinie; + l'infinie[ (et ne passe par zéro)

Du coup j'étudie le signe de (x⁴-1)/x

Attention pour la fonction inverse.

Elle n'est pas décroissante sur ]-oo;0[ U ]0;+oo[ comme on pourrait le penser. Cela voudrait dire qu'elle diminue toujours ce qui n'est pas vrai (après 0 elle descend de l'infini).

Elle est décroissante sur ]-oo;0[ et sur ]0;infini[ chacun à part. Mais ici on ne s'intéresse pas à la croissance de ces fonctions.

Tu dois étudier le signe de (x^4-1)/x.

Il suffit de regarder les différents cas:

1) Si x>0
a) premier sous-cas x^4-1 est positif pour x ....
b) deuxième sous-cas....

2) Si x<0
Aussi deux sous cas.

Tu peux constater que x^4-1 est de la forme a^2-b^2 pour le factoriser si tu n'arrives pas à lire le signe directement

[neoxa]

Merci pour votre, c'est ce que j'ai fais du coup.

[Lostounet]

Conclusion?

[neoxa]

Alors si je n'ai pas fais de faute, et si j'ai bien compris.
Le tableau de signe de x⁴-1 sera
+.....-.....+ (désolé pour le manque d'indications du tableau mais je ne peux pas le faire mieux) du coup j'ai mis que c'était positif sur
] -infinie; -1]U[1; +infinie[ et donc négatif sur [-1;1]

Puis pour x, (là je ne suis sûr)
Si x>0 j'ai
-...+

Puis si x<0 j'ai
+...-

[Lostounet]

Effectivement on peut dire que:
(X^4-1)/x = (x^2-1)(x^2+1)/x

Ceci est du même signe que ( x^2-1)/x comme x^2+1 est toujours positif.

Or x^2-1 est négatif si et seulement si x entre [-1;1]

Donc si x entre ]0;1] (x^2-1)/x est négatif
Si x entre [-1;0[ alors (x^2-1)/x est le quotient de deux nombres nêgatifs donc positif.

Si x entre -infini et -1, tu as positif/negatif donc negatif
Si x entre 1 et infini, tu as positif/ positif donc positif

Alors (x^4-1)/x est positif sur quel intervallle?

[neoxa]

Sur 1; +infinie (je ne suis pas sûr)

[Lostounet]

Je te conseille de faire un bon vieux tableau de signes après factorisation de (x^4-1)/x=(x-1)(x+1)(x^2+1)/x

Tu peux le scanner si tu veux et le mettre ici pour qu'on vérifie.