Nombres complexes i^i

[Polo]

J'ai un problème pour donner une valeur à :
- j'ai d'abord montrer que :
- puis en pensant à une autre démontsration j'ai montrer que :
ce qui me donne le résultat
Et je n'arrive pas à comprendre pourquoi j’aboutis à cette contradiction, merci d'avoir lu ce message.

[Lostounet]

Bonjour,
Quelle est la définition de i^i?

Si tu pars des entiers naturels, (a^n)^m=(a^m)^n (a>0)

Mais cette propriété ne marche déjà pas pour des nombres négatifs avec exposants rationnels: 1= ((-1)^2)^(1/2)=((-1)^(1/2))^2=i^2=-1 C'est du non sens total pour -1.. donc pourquoi pour i cela marcherait?

Et si tu prends comme analogie x^y=exp(y ln(x))
Alors là aussi c'est mal parti vu que ln(i) n'est pas défini. En fait il peut être défini mais c'est pas facile...
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

[Polo]

Merci et désolé de m'être trompé de page pour ma question.

[mathelot]

Soit LOg le logarithme complexe
on a
en coupant le plan selon la demi droite

[Skullkid]

Soit LOg le logarithme complexe
on a

Ça fait plusieurs fois que tu écris ça, mais il faut bien se rendre compte que ça ne définit pas un logarithme complexe si tu ne précises pas qui est theta. Et la mention d'un choix de coupure ne résout pas le problème non plus. De fait il n'existe pas de fonction Log qui satisfait ton égalité pour tout théta réel (et r > 0), c'est là le coeur du problème et il serait peut-être bon de ne pas le masquer...

[Polo]

Pour montrer que ,
j'ai utiliser le fait que
d'où
Ensuite j'ai montré que
J'ai le droit de me servir de cette façon du logarithme ?

[Lostounet]

Non.. La fonction logarithme n'est déjà pas définie sur R pour qu'elle soit définie sur C...
Ln n'est définie que sur R+*.

Donc ln(i) n'a aucun sens.

[Lostounet]

Que penses-tu du raisonnement suivant:

(-1)^2=1

Donc ln((-1)^2)=ln(1)=0

Donc 2ln(-1)=0 alors ln(-1)=0
Donc exp(ln(-1))=exp(0) donc -1=1

[Polo]

Oui, c'est effectivement absurde, du coup on peut donner une valeur à i^i ?

[Lostounet]

Oui, c'est effectivement absurde, du coup on peut donner une valeur à i^i ?

Pour donner "une" valeur à i^i tu devrais me dire c'est quoi la définition de i^i..?

Si je te donne le nombre racine(2), c'est quoi par exemple ta définition de [racine(2)]^(racine(2)] ?

[Polo]

Ce serait le nombre qui au carré donne 2 puissance ce même nombre, par conséquent est un réel.
Du coup pour ce serait le nombre qui au carré donne -1 puissance ce même nombre, comment peut-on s'en servir ?

[Polo]

Mon résultat est-il correct ce coup-ci ?

[Polo]

En généralisant pour z et z' deux complexes je trouve :

Soit
Or (ici je ne suis pas sûr d'avoir le droit de faire ça)
Donc

On a alors



Du coup pour j'ai trouvé effectivement

[Lostounet]

Ce serait le nombre qui au carré donne 2 puissance ce même nombre, par conséquent est un réel.
Du coup pour ce serait le nombre qui au carré donne -1 puissance ce même nombre, comment peut-on s'en servir ?

Hein?
x^2=2^x n'est pas vérifiée pour le nombre x=[racine(2)]^racine(2).

Toutes tes manipulations qui font intervenir une "puissance i" ne sont pas définies. Déjà on ne peut pas toujours élever un nombre à la puissance qu'on veut.
Peux-tu me dire que vaut (-1)^(1/2) ?

Si tu me réponds i, je te réponds: pourquoi pas -i ?
Ce n'est pas parce que j'écris (-1)^(1/2) que cela a directement un sens. De même c'est quoi i^i ?

Si tu me dis exp(-pi/2), je peux te dire que:
Exp(i(pi/2+2pi))=i
Donc i^i = exp(i(pi/2 + 2pi))^i= exp(-pi/2 -2pi).

Et alors on prend quoi ? Exp(-pi/2) ou exp(-pi/2-2pi) ?

Bref ce problème est profond et nécessite de connaitre l'exponentielle complexe et la théorie des fonctions holomorphes pour donner une réponse claire sans "baratin".

[Polo]

Je ne sais pas justement.

[Lostounet]

Ce que j'essaye de te dire c'est que tu ne vas pas y arriver avec des outils de lycée de donner une valeur à i^i... Oublie.

Cette valeur peut être exp(-pi/2) sous certaines conditions. Elle peut aussi être autre chose sous une autre condition par exemple exp(-pi/2-2pi). (Cf la coupure du logarithme complexe).

On peut démontrer que i^i est toujours un nombre réel de la forme exp(-pi/2 - 2kpi) quelle que soit la condition choisie.

En fait i^i peut être ""une infinité de réels"".

[Ben314]

Salut

Ce serait le nombre qui au carré donne 2 puissance...

Le truc qu'il faudrait bien comprendre (et qui normalement est acquis au collège), c'est que, par exemple, c'est pas LE nombre qui au carré donne 9, mais UN DES DEUX nombres qui au carré donne 9 (celui qui est positif). EN bref, rien que pour définir la racine carrée "usuelle" (c'est à dire les puissances 1/2)qu'on voit au collège, ben il y a un choix à faire.
Pour les puissance 1/3 (c'est à dire les racines cubique), là dans R, c'est nickel vu que pour un y donné, il n'y a qu'un seul x tel que x^3=y, mais de nouveau, pour les puissances 1/4, il faut choisir parmi les deux solutions.
Ensuite, quand tu passe à C, ben... c'est la catastrophe... : non seulement il y a toujours deux solution à l'équation x²=y (pour y fixé), mais en plus, on risque pas de dire qu'on prend celle positive vu qu'il y a pas de positifs sur C donc un complexe à la puissance 1/2, ben déjà ça a pas de sens (par exemple, tu peut me dire ce que c'est que (-1)^(1/2) : c'est i ou c'est -i ? et pourquoi l'un plutôt que l'autre ?)
Et pire que tout, si on cherche à définir encore plus généralement la notion de puissance 1/n, alors l'équation x^n=y (y fixé) admet n solutions donc on a sous les yeux n "candidats potentiels" pouvant chacun revendiquer le titre de "monsieur y^(1/n)", lequel choisir ? et pourquoi celui là plutôt qu'un autre ?

Bref, quand tu voit que déjà, on peut pas définir proprement ce qu'est y^(1/n) avec y complexe quelconque alors que 1/n c'est jamais qu'un bête quotient, ben ça m'intéresserait beaucoup de savoir comment tu a pu imaginer une seule seconde qu'on pouvait sans vergogne définir y^i !!!!

[Polo]

Je me posais juste la question et au moins maintenant je sais pourquoi c'est plus compliqué que ce que je pensais merci beaucoup.