Uniforme continuité

[Menthix]

Bonjour,
je dois déterminer si cette fonction : f(x,y) = (x-y, x+y, sin(x.y)) est uniformément continue sur R^3.

En prenant deux suites Xn et X'n tq ||Xn-X'n|| --> 0 (en +oo) et deux autres suites Yn et Y'n tq ||Yn - Y'n|| --> 0, c'est à dire en prenant deux couples de suites tels que on a : ||(Xn-Yn) - (X'n-Y'n)|| --> 0 (en +oo).
Je veux montrer que on a : ||f(Xn-Yn) - f(X'n-Y'n)|| --> 0

i.e (en effectuant la différence pour chaque coordonnée) : || ( Xn-X'n - Yn-Y'n) , (Xn-X'n + Yn-Y'n) , sin(Xn,Yn) - sin (X'n-Y'n)|| --> 0

Or on a bien la convergence en 0 pour les coordonnées 1 et 2 : ( Xn-X'n - Yn-Y'n) --> 0 et (Xn-X'n + Yn-Y'n) --> 0 (en +oo)
Mais je n'arrive pas à montrer que sin(Xn.Yn) - sin (X'n.Y'n)|| --> 0 (en +oo)

Merci d'avance de vos réponses

[aviateur]

Bonjour
C'est quoi sin(x,y)??

[Menthix]

Pardon, erreur de rédaction : c'est sin(x.y)

[zygomatique]

salut

la fonction sin n'est-elle pas uniformément continue ?
le produit de deux variables n'est-il pas continue ?

peut-être utiliser les hypothèses ...

[aviateur]

Bonjour

le produit de deux variables n'est-il pas continue ?

@zygomatique, tu veux dire uniformément continue.?

J'ai tout de même un doute sur la continuité uniforme de sin(xy)

[Kolis]

Bonjour !
Je n'ai aucun doute, elle ne l'est pas !
Soit et un entier supérieur à .

Avec on a
et

ou encore .

[Menthix]

Donc sin(Xn,Yn) - sin (X'n-Y'n) n'est pas uniformément continue ? Je le montre avec la preuve de Kolis ?

[aviateur]

Evidemment @Kolis tu as raison, elle ne l'est pas.
Le fait de dire que j'ai un doute c'est que cela vient du fait connu que la fonction à une variable la fonction x->x^2 n'est pas u-continue sur R. Ce n'est donc pas étonnant que dans ta démo tu prends x=y

[zygomatique]

merci ...

[Menthix]

Merci beaucoup

[zygomatique]

Bonjour

le produit de deux variables n'est-il pas continue ?

@zygomatique, tu veux dire uniformément continue.?

J'ai tout de même un doute sur la continuité uniforme de sin(xy)

pour en revenir au sinus : je pensais qu'en étant borné et à dérivée bornée cela serait suffisant ... avec la continuité ... (puisqu'elle est dérivable !! )

mais effectivement en composant avec le produit qui ne l'est pas ça ne suffit pas ...

[aviateur]

Effectivement @zygomatique la non continuité uniforme ne vient pas du sinus mais de la fonction "xy".
Pour répondre à @menthix

Donc sin(Xn,Yn) - sin (X'n-Y'n) n'est pas uniformément continue ? Je le montre avec la preuve de Kolis ?

Il faut être rigoureux, j'espère que tu veux dire " Ce qui n'est pas uniformément continue c'est la fonction de R^2 dans R qui à (x,y) fait correspondre sin(xy)"

Je le montre avec la preuve de Kolis ?

Non tu ne le montres pas puisque c'est lui qui le montre. Par contre tu peux la copier et surtout la comprendre.