Bonjour,
je dois déterminer si cette fonction : f(x,y) = (x-y, x+y, sin(x.y)) est uniformément continue sur R^3.
En prenant deux suites Xn et X'n tq ||Xn-X'n|| --> 0 (en +oo) et deux autres suites Yn et Y'n tq ||Yn - Y'n|| --> 0, c'est à dire en prenant deux couples de suites tels que on a : ||(Xn-Yn) - (X'n-Y'n)|| --> 0 (en +oo).
Je veux montrer que on a : ||f(Xn-Yn) - f(X'n-Y'n)|| --> 0
i.e (en effectuant la différence pour chaque coordonnée) : || ( Xn-X'n - Yn-Y'n) , (Xn-X'n + Yn-Y'n) , sin(Xn,Yn) - sin (X'n-Y'n)|| --> 0
Or on a bien la convergence en 0 pour les coordonnées 1 et 2 : ( Xn-X'n - Yn-Y'n) --> 0 et (Xn-X'n + Yn-Y'n) --> 0 (en +oo)
Mais je n'arrive pas à montrer que sin(Xn.Yn) - sin (X'n.Y'n)|| --> 0 (en +oo)
Merci d'avance de vos réponses