Analyse complexe et monodromie

[fleurbleue]

Bonsoir à toutes et à tous
Alors j'ai une petite question pour laquelle je n'ai toujours pas trouvé de réponse.
Je suis en plein analyse complexe et je ne comprends pas quelquechose: le comportement des fonctions autour d'un point. Pourquoi la détermination d'une fonction donnée change t-elle après avoir réalisé un tour autour d'un lacet ? Par exemple pourquoi la valeur de la racine carré est-elle multipliée par -1 ou pourquoi ajoute-t-on 2ipi à la valeur du logarithme ?
Si vous pourriez m'éclairez la dessus ça serait super gentil

[pascal16]

il nous faudrait des exemples

mais en gros :

exp(i.pi)=-1 donc on se retrouve avec un simple nombre réel plus facile à manier

exp (0pi)=exp(2i.pi)=exp(4i.pi)=exp(6i.pi)=1

exp(i(2pi+a))=exp(ia)

[fleurbleue]

Bonjour
Par exemple si on a un lacet centré en 0 de rayon 1, lorsque l'on tourne autour de ce lacet, pour une détermination donnée de la racine carré, celle-ci est mutipliée par (-1) après un tour complet. J'ai du mal à comprendre pourquoi.

[pascal16]

avec l'équation, ça serait mieux
je pense que tu parles d'un cercle de rayon 1 et de centre O

par les complexe, équation f(t)= exp(it)
c'est à dire, il faut imaginer en physique, un objet qui tourne à vitesse radiale constante autour de O.

s'écrit en équation cartésienne :
x(t)=cos(it)
y(t)=sin(it)
c'est toujours ici un objet qui tourne à vitesse radiale constante autour de O. Sa trajectoire est un cercle sur lequel il repasse tout le temps

or sin²+cos²=1
donc, pour toute valeur de t : x²(t)+y²(t)=1
résolvons en y, le domaine de x est [-1;1]
y²(t)= (1-x²(t))
soit y(t)= (1-x²(t))^0.5 ou y(t)= - (1-x²(t))^0.5
comme c'est pour toute valeur de t, on peut l'enlever (facile à comprendre dans l'autre sens, plus difficile dans ce sens).

y=(1-x²)^0.5 ou y=-(1-x²)^0.5

y=(1-x²)^0.5 est le demi-cercle supérieur
y=- (1-x²)^0.5 est le demi-cercle inférieur
le signe s'inverse donc tous les demi-tours, pas à chaque tour !

tu as finalement 2 demi cercle, le 'temps ' a disparu, tu n'as plus que la trajectoire.

[Ben314]

Salut,
Si tu considère le lacet avec alors, pour tout , les deux solutions de l'équation (c'est à dire les deux racines carrées de ) sont et .
Donc les fonctions telles que pour tout sont très précisément celles de la forme avec et il y en a une énorme multitude vu qu'il y a une énorme multitude de fonctions quelconques de dans .
Sauf qu'on aimerais bien que la fonction soit un minimum régulière, en particulier qu'elle soit continue et ça impose que la fonction le soit (car ) donc en fait qu'elle soit constante égale à un certain .
Mais dans ce cas, donc et .
Bref, quand on fait le tour du cercle trigo, on changé de racine (à condition de le faire continuement) et ça signifie qu'il n'existe pas de fonction continue telle que pour tout .
Et exactement la même preuve montre qu'il n'existe pas de fonction continue telle que pour tout

[fleurbleue]

Mais ceci n'est valable que pour le cas d'un lacet centré en 0 ou pour tout autre lacet ?

[pascal16]

La notion de lacet n'est pas propre à l'origine, c'est simplement que l'on revient au même endroit en suivant une courbe continue.

Le cercle est un cas où l'on peut revenir facilement à une fonction réelle de variable réelle par morceaux.
si zo=3+2i
zo+0.5exp(it) décrit un cercle de rayon 0.5 autour de zo et décrit un lacet tous les 2pi
zo-3exp(-i2t) décrit un cercle de rayon 3 autour de zo et décrit un lacet tous les pi, en tournant sens horaire.


il existe plein de lacets différents :
déf : https://fr.wikipedia.org/wiki/Lacet_(math%C3%A9matiques)
une courbe en forme de e cursif : il y a un angle entre les deux branches qui n'est multiple de 2pi
la cardioïde https://fr.wikipedia.org/wiki/Cardio%C3%AFde
le symbole infini

[Ben314]

Mais ceci n'est valable que pour le cas d'un lacet centré en 0 ou pour tout autre lacet ?

Essaye de prendre un minimum de recul sur les preuve qu'on te propose :
Si au lieu de prendre le lacet on prend un lacet "beaucoup plus quelconque" de la forme où et sont des fonctions continues de [a,b] dans (avec ), est ce que ça changerais quoi que ce soit à la preuve (à part bien sûr l'alourdir) ?

Par contre, effectivement, si on prend un lacet donné sous la forme , là, c'est bien plus ch... vu que les racines carrées de sont bien plus compliquées à exprimer (en particulier à exprimer continuement par rapport à x et y) que dans le cas de .

Donc il y a une question on ne peut plus intéressante à se poser (que tu as peut-être déjà vu en cours ou en T.D.) :
Étant donnée une fonction continue de [a,b] dans C\{0}, existe t'il des fonctions continues et de [a,b] dans R (avec ) telles que, pour tout t de [a,b] on ait ?