Séquence de nombres

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alice02
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Séquence de nombres

par alice02 » 18 Oct 2017, 21:10

Soit un entier strictement positif et soit , avec , des entiers strictement positifs distincts appartenant `a l’ensemble tels que n divise pour

Montrer que ne divise pas .



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Ben314
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Re: Séquence de nombres

par Ben314 » 18 Oct 2017, 23:19

Salut,
Pour tout posons et .
(1) et sont premiers entre eux (car et ) et divisent tout les deux donc .
(2) Pour l'hypothèse nous dit que, .
Or donc c'est à dire ou encore .
Mais donc en fait c'est à dire .
(3) De (1) et (2) on déduit que c'est à dire que et, si divisait , on aurait aussi (idem (2)) donc c'est à dire et tout les seraient égaux (à un certain ).
Or dans ce cas, le (1) nous dirait que et le (2) que donc les seraient aussi tous égaux à un certain avec et
Mézalors, pour tout on aurait avec (car ) et, comme on aurait or, comme , il y a une unique solution à cette congruence donc en fait tout les sont égaux.

P.S. Donc on peut même "diminuer" l'hypothèse de départ en supposant uniquement que les ne sont pas tous égaux plutôt que de les supposer (deux à eux) distincts.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

alice02
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Re: Séquence de nombres

par alice02 » 19 Oct 2017, 00:30

Thanks Ben314, but I don't understand... :(
Someone can traslate it in english??
Thanks :)

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Ben314
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Re: Séquence de nombres

par Ben314 » 19 Oct 2017, 00:52

For let and .
(1) and are coprimes (because and ) and both of them divides so .
(2) For we know that so .
But so, in fact, so and .
But sot and .
(3) From (1) and (2) we deduct that so .
If we supose further that divides , we have (same as (2)) so and witch mean that all the are same (equal to some integer ).
But, in this case (1) say that and (2) say that so the ares same and are equal to some integer with and
Now, for all we have with (because ).
We have also so but this équation have only one solution (because ) so all the are same.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

nodgim
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Re: Séquence de nombres

par nodgim » 19 Oct 2017, 09:28

Il faudrait que n divise le plus grand nombre de la suite A et aussi A-1, c'est à dire qu'il faudrait que n divise A(A-1), n serait alors plus grand que les autres produits.
Si j'ai bien compris l'énoncé.

Matt_01
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Re: Séquence de nombres

par Matt_01 » 19 Oct 2017, 23:56

An other way to do it would be to show by induction that for , (using the fact that ).
Therefore , so . Since and are different and , we can't have . Then it follows that doesn't divide .

alice02
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Re: Séquence de nombres

par alice02 » 21 Oct 2017, 11:35

Thanks Ben314, :)
I understand all exept the final part.
Can you explain better the final part? (where is exactly the absurd and why there is only one solution?)

And what mean in english "
Donc on peut même "diminuer" l'hypothèse de départ en supposant uniquement que les ne sont pas tous égaux plutôt que de les supposer (deux à eux) distincts." ?

 

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