Salut,
Pour tout
posons
et
.
(1)
et
sont premiers entre eux (car
et
) et divisent tout les deux
donc
.
(2) Pour
l'hypothèse
nous dit que,
.
Or
donc
c'est à dire
ou encore
.
Mais
donc en fait
c'est à dire
.
(3) De (1) et (2) on déduit que
c'est à dire que
et,
si divisait , on aurait aussi
(
idem (2)) donc
c'est à dire
et tout les
seraient égaux (à un certain
).
Or dans ce cas, le (1) nous dirait que
et le (2) que
donc les
seraient aussi tous égaux à un certain
avec
et
Mézalors, pour tout
on aurait
avec
(car
) et, comme
on aurait
or, comme
, il y a une unique solution
à cette congruence donc en fait tout les
sont égaux.
P.S. Donc on peut même "diminuer" l'hypothèse de départ en supposant uniquement que les
ne sont pas tous égaux plutôt que de les supposer (deux à eux) distincts.