DM divisibilité Terminale S spé math

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JackMc
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DM divisibilité Terminale S spé math

par JackMc » 17 Oct 2017, 15:45

Bonjour,
J'ai ce DM à rendre mais j'étais malade quand il y a eue le cour et à donc je n'y comprends rien. Si quelqu'un pouvait m'aider ça a serai vraiment sympa.
Un repdigit est un nombre formé de la répétition d'un seule et même chiffre (exemple :222 ou 5555)
1) montrer que tous les Repdigit à n fois trois chiffres sont des multiples de 3.
2) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel non nul ne, un repdigit à 3^n chiffres est divisible par 3^n.

Merci d'avance !



Pseuda
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par Pseuda » 17 Oct 2017, 16:29

Bonjour,

1) Ce nombre s'écrit aaa......aaa où le chiffre a est répété 3n fois. Commence par le nombre aaa (c'est-à-dire 100a+10a+a) et applique la règle de divisibilité par 3. La connais-tu ?

JackMc
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par JackMc » 19 Oct 2017, 12:35

Merci de ta réponse !
1) oui je la connais et j'ai réussi à démontrer que c'était vrai pour aaa (je trouve aaa=3*(37a) ) grâce à à ta méthode.
Mais je ne sais pas comment démontrer que c'est vrai pour tout aaa...aaa où a est répété 3n fois. (J'avais essayé de démontrer pour aaaaaa mais ça ne sert à rien, je trouve pareil mais avec un plus gros résultats).
Merci beaucoup de ton aide et si tu pouvais m'aider encore un peu ça serait vraiment sympa (je sais je suis pas doué mais je suis vraiment perdu vu que j'ai manqué le cour )

Merci encore de ta réponse !

JackMc
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par JackMc » 19 Oct 2017, 13:33

Ça y est je crois que j'ai trouvé pour la 1,
Si quelqu'un pouvait me dire si ce que j'ai fait est bon ?
Donc j'ai dit que :
aaa...aaa=a*10^(3n-1)+a*10^(3n-2)+...+a*10(3k-3k)
=a(11...1) où 1 est répété 3n fois
=3*(a*(11...1/3) donc c'est divisible car 11...1/3 est entier.
Et la j'ai démontrer pourquoi 11...1/3 est entier.
Normalement c'est bon, enfin j'espère...

Et ensuite pour la 2 je ne sais pas du tout comment écrire la propriété.
Merci d'avance !

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Lostounet
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par Lostounet » 19 Oct 2017, 13:38

JackMc a écrit:Merci de ta réponse !
1) oui je la connais et j'ai réussi à démontrer que c'était vrai pour aaa (je trouve aaa=3*(37a) ) grâce à à ta méthode.
Mais je ne sais pas comment démontrer que c'est vrai pour tout aaa...aaa où a est répété 3n fois. (J'avais essayé de démontrer pour aaaaaa mais ça ne sert à rien, je trouve pareil mais avec un plus gros résultats).
Merci beaucoup de ton aide et si tu pouvais m'aider encore un peu ça serait vraiment sympa (je sais je suis pas doué mais je suis vraiment perdu vu que j'ai manqué le cour )

Merci encore de ta réponse !


Bonjour,

Il existe un critère bien plus pratique pour montrer qu'un nombre est divisible par 3: on calcule la somme de ses chiffres. Si elle est divisible par 3, alors le nombre initial l'est!

Exemple: 33441 est-il divisible par 3?
3+3+4+4+1=15 or 15 est divisible par 3 donc 33441 aussi!

(Cette propriété peut être démontrée et plus le nombre est grand plus tu auras du mal avec l'approche classique de vouloir trouver vraiment le quotient comme pour aaa).

Bilan des courses: 111 est divisible par 3 car 1+1+1 l'est.
aaaaaa aussi vu que a+a..+a(6fois)=6×a est divisible par 3
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par JackMc » 19 Oct 2017, 14:00

Merci je vais utiliser cette méthode,
Mais ça ne me débloque pas pour la suite !

JackMc
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par JackMc » 19 Oct 2017, 14:05

Pour la 2 j'ai peut être une piste mais je suis pas sur.
J'ai introduit la propriété : 3^n divise aaa...aaa où a est répété 3^n fois.
J'ai fais l'initialisation
Puis à l'hérédité je crois que le but c'est de passé de:
3^n|aaa...aaa
A :
3^(n+1)|a*10^(3n+2)+a*10^(3n+1)+a*10^(3n)+aaa...aaa
Mais je sais pas comment faire pour y arriver,
Merci de m'eclairer sur ce point.

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Lostounet
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par Lostounet » 19 Oct 2017, 14:36

attention au fait que, si tu veux passer par exemple de
N= aaa.....a (9 lettres a)
À N'= aaa...a (27 lettres a) il faut ajouter à N 10^(10)a jusqu'à 10^27a.
Donc il faut que les exposants de tes 10 aillent de [(3^n)+1] à [3^(n+1)] non?
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JackMc
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par JackMc » 19 Oct 2017, 16:23

Ah oui effectivement j'avais pas fait attention,
Donc du coup je trouve comme objectif :
a*(10^3)^(3^n)*(-10)+...
Et sinon tu ne sais pas comment faire pour la suite ?
Mais merci comme même !

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zygomatique
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par zygomatique » 19 Oct 2017, 18:39

salut

c'est quand même triste de ne pas (savoir) travailler avec méthode et rigueur pour résoudre ce pb en un rien ... par exemple en écrivant proprement les trois premiers :







la généralisation devient alors évidente ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par Lostounet » 19 Oct 2017, 20:11

JackMc a écrit:Bonjour,
J'ai ce DM à rendre mais j'étais malade quand il y a eue le cour et à donc je n'y comprends rien. Si quelqu'un pouvait m'aider ça a serai vraiment sympa.
Un repdigit est un nombre formé de la répétition d'un seule et même chiffre (exemple :222 ou 5555)
1) montrer que tous les Repdigit à n fois trois chiffres sont des multiples de 3.
2) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel non nul ne, un repdigit à 3^n chiffres est divisible par 3^n.

Merci d'avance !


Quand l'exercice n'est pas évident comme ici, il vaut mieux tenter l'hérédité d'abord à petite échelle avant de traiter le cas n quelconque.

Je veux dire par cela: suppose que aaa est divisible par 3^1, donc on suppose qu'il existe k tel que
aaa = 3^1 * k

Montre que aaa aaa aaa est alors divisible par 3^2.

Maintenant, l'idée consiste à se dire que, comme on a une information sur le nombre "aaa", on doit essayer de le faire apparaître dans le nombre aaa aaa aaa (exprimer aaa aaa aaa en fonction de aaa).

Cela se fait comme le suggère zygomatique:
aaa aaa aaa = (111 111 111) * a = aaa*10^6 + aaa*10^3 + aaa

(Hypothèse de récurrence): = (3*k*10^6) + (3*k*10^3) + (3k)
en prenant 3k en facteur: = 3k[10^6 + 10^3 + 1]

Or l'entier N = 10^6 + 10^3 + 1 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres l'est (le vérifier), donc N = 3*p avec p un entier

Cela veut dire que aaa aaa aaa = 3k*(3p) = 3^2*(kp) donc aaa aaa aaa est divisible par 3^2.

Maintenant tu peux passer au cas n quelconque: le raisonnement est a priori analogue
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par JackMc » 19 Oct 2017, 21:09

Merci,
Je n'ai pas compris comment tu trouves l'hypothèse de récurrence,
Et je ne suis pas sur de mon expression de a...(3^n+1 fois) en fonction de a...(3^n fois), je trouve :
aaa...(3^n+1 fois)=aaa*10^(n-3)+aaa*10^(n-2*3)+... jusqu'à + aaa*10^0.
Je sais je suis très nul.
En tout cas merci beaucoup !
Modifié en dernier par JackMc le 19 Oct 2017, 21:37, modifié 2 fois.

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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par Lostounet » 19 Oct 2017, 21:33

JackMc a écrit:Merci,
Je n'ai pas compris comment tu trouves l'hypothèse de récurrence,
Et je n'arrive pas à exprimer ce que t'as fait avec le zygomatique pour le cas n.
Je sais je suis très nul.
En tout cas merci beaucoup !


Hein?
As-tu au moins lu ma réponse plusieurs fois?
J'ai bien marqué ce que l'on suppose vrai au rang n=1 et j'ai montré le rang n=2.

À toi de dire exactement ce que tu n'as pas compris (quelle ligne exactement).
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JackMc
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par JackMc » 20 Oct 2017, 08:32

La ligne de l'hypothèse de récurrence
Et j'ai modifié mon message concernant zygomatique, pourrais tu me dire si c'est bon s'il te plait.
Merci d'avance

Pseuda
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par Pseuda » 20 Oct 2017, 12:28

Bonjour,

J'avais écrit ici un long message hier qui s'est perdu (le forum buggait hier ?). Je n'ai pas le courage de recommencer.

beagle
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Re: DM divisibilité Terminale S spé math

par beagle » 20 Oct 2017, 12:30

Pseuda a écrit:Bonjour,

J'avais écrit ici un long message hier qui s'est perdu (le forum buggait hier ?). Je n'ai pas le courage de recommencer.


oui terrible hier, idem j'ai refais un texte mais plus petit car ça m'avait gavé la perte du message!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

 

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