Une inégalité
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kabakas
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par kabakas » 16 Oct 2017, 13:31
salut à tous
svp aidez-moi
merci d'avance !
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infernaleur
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par infernaleur » 16 Oct 2017, 14:05
Salut trace un triangle ABC note a b et c les longueurs de ce triangle et îl te faut utiliser cette propriété : dans un triangle la longueur d'un côté est inférieur à la somme des longueurs des deux autres côtés donc en gros tu auras a<=b+c
b<=a+c
c<=a+b
Voila une piste
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kabakas
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par kabakas » 16 Oct 2017, 14:26
infernaleur a écrit:Salut trace un triangle ABC note a b et c les longueurs de ce triangle et îl te faut utiliser cette propriété : dans un triangle la longueur d'un côté est inférieur à la somme des longueurs des deux autres côtés donc en gros tu auras a<=b+c
b<=a+c
c<=a+b
Voila une piste
merci de votre attention
j'ai utilisé ces inégalités mais je n'ai rien trouvé !
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Pseuda
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par Pseuda » 16 Oct 2017, 15:03
Bonjour,
Une autre piste : il y a aussi la formule dans un triangle de côtés a, b et c, issue du produit scalaire : a^2 = b^2+c^-2bc*cos(A).
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Tiruxa47
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par Tiruxa47 » 16 Oct 2017, 15:45
Bonjour,
Pourtant cela fonctionne... il suffit de persévérer...
Dans a<=b+c remplace b+c par 1-a, on en déduit une condition pour a, etc...
Ceci dit l'inégalité à démontrer est au sens large, car pour a=b=0.5 et c=0 (triangle aplati)
on a a²+b²+c²=1/2
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nodgim
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par nodgim » 16 Oct 2017, 18:45
On s'en sort très classiquement en remplaçant c par 1-(a+b) et en étudiant la fonction f(a) = a²+b²+c², sachant que ni a ni b ne peuvent dépasser 1/2.
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infernaleur
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par infernaleur » 16 Oct 2017, 19:18
En reprenant mon indication tu as donc
a<=b+c
Or b+c=1-a
Donc a <=1-a soit a^2<=(1-a)^2
Tu fait la même chose pour b et c
Et tu en déduis une majoration de a^2+b^2+c^2
Je n'avais pas vu ton message Tiruxa pardon !
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kabakas
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par kabakas » 17 Oct 2017, 00:24
j'ai trouvé une solution
merci à vous tous
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aviateur
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par aviateur » 17 Oct 2017, 00:59
Bonjour
Oui c'est bien et simple
sinon j'avais :
a^2+b^2+c^2=1/2(a+b+c)^2-1/2[ (a + b - c) (a - b + c) + (a + b - c) (-a + b + c) + (a - b + c) (-a +
b + c) ]=1/2-1/2[ (a + b - c) (a - b + c) + (a + b - c) (-a + b + c) + (a - b + c) (-a +
b + c) ]<1/2
car [ (a + b - c) (a - b + c) + (a + b - c) (-a + b + c) + (a - b + c) (-a +
b + c) ]>0 car on a, b ,c sont les cotés d'un triangle . (voir les infos données dans les posts qui précèdent ).
Modifié en dernier par
aviateur le 17 Oct 2017, 17:47, modifié 1 fois.
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nodgim
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par nodgim » 17 Oct 2017, 05:57
Plus simple encore !
Pour tout x, 0 < x <= 1/2, cas de notre triangle, 2x² - x <= 0
Donc 2 (a² + b² + c² ) < a+b+c = 1
Terminé.
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aviateur
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par aviateur » 17 Oct 2017, 17:51
Oui @nogdim c'est encore plus simple mais ta deuxième ligne il a fallu deviner ce tu as voulu dire.
Puisqu'on est dans les triangles je propose une inégalité dans une enigme.
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Pseuda
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par Pseuda » 18 Oct 2017, 08:46
Bonjour,
Très simple en effet. Bravo nodgim !
On peut remarquer que pour vérifier a^2+b^2+c^2 < 1/2, avec a, b, c réels positifs tels que a+b+c=1, la condition "a, b, c sont les côtés d'un triangle" est suffisante mais pas nécessaire (par exemple a=1/13, b=5/13, c=8/13).
Sinon, on peut montrer que si a, b, c sont les côtés d'un triangle avec a+b+c=1, on a même : 1/3 <= a^2+b^2+c^2 < 1/2.
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