Continuité sans lever le crayon

[Pseuda]

Bonjour,

@Ben314 Concernant ta remarque sur R et C, c'est peut-être une des raisons qui ont fait renoncé les mathématiciens à la continuité sans lever le crayon.

Je m'explique. Une fonction R->R même si elle est dérivable et de dérivée continue peut l'être jusqu'à un certain ordre seulement (pas jusqu'à l'infini comme sur C d'après tes propos, je ne connais pas, je te fais confiance).

Par exemple la fonction réelle définie sur R+ par f(x)=x^(n+1/2) est dérivable en 0 jusqu'à l'ordre n seulement.

Ou plus édifiant, la fonction x->x^n*sin(1/x) est (sauf erreur) dérivable en 0 jusqu'à l'ordre E(n/2) seulement, de dérivée non continue si n est pair, continue si n est impair.

Tout cela pour dire que, puisque de toute façon, on n'a pas la régularité des fonctions sur R comme sur C, il était peu important de renoncer à cette régularité-là (de fonction dérivée forcément continue) au profit de considérations certainement plus intéressantes. Merci pour cette remarque !

[chan79]

Bonjour Pseuda
On pourrait par exemple imaginer des demi cercles au lieu des segments.

[Kolis]

Bonjour !
Ces courbes ressemblent aux graphes de où est une suite (de limite 0) donnée.
Je crois me souvenir que si la fonction n'est pas dérivable en 0 et
que si ( donné) il y a une dérivée en 0.

[Pseuda]

Finalement les fonctions continues sans lever le crayon seraient ce que Ben314 appelle les fonctions continues C1 par morceaux. Elles existent donc mathématiquement. C'est sans doute aussi une des raisons pour lesquelles on s'en est contenté.

@chan79 Ta fonction avec les demi-cercles, comme d'ailleurs celle avec les triangles, n'est pas dérivable aux points de jonctions des demi-cercles. Alors est-elle dérivable en 0 ? Je n'en ai aucune idée.

[chan79]

Avec les demi-cercles:
Si on imagine un point M de la "courbe", d'abscisse x (avec x>0) qui se rapproche O, la pente de (OM) prend des valeurs qui oscillent indéfiniment entre 0 et la pente de la tangente commune à tous les demi-cercles situés à droite de O. Donc, pas de dérivabilité en 0.
C'est pas vraiment une démo, d'autant que la fonction n'est pas définie de façon satisfaisante.
On peut comparer avec la fonction g:
g(x)=x² si x est rationnel
g(x)=0 sinon
Celle-ci est bien dérivable en 0.

[Pseuda]

Avec les demi-cercles:
Si on imagine un point M de la "courbe", d'abscisse x (avec x>0) qui se rapproche O, la pente de (OM) prend des valeurs qui oscillent indéfiniment entre 0 et la pente de la tangente commune à tous les demi-cercles situés à droite de O. Donc, pas de dérivabilité en 0.
C'est pas vraiment une démo, d'autant que la fonction n'est pas définie de façon satisfaisante.

Bonsoir chan79,

On pourrait en dire autant des fonctions x*sin(1/x) et x^2*sin(1/x). Pourtant l'une est dérivable en 0 l'autre pas. Tout dépend du degré d'amortissement de la fonction. Pour les triangles et les demi-cercles, je pense que c'est pareil, il faut les amortir avec du x^2 pour les rendre dérivables.

[chan79]

Bonjour Pseuda
Pour la fonction x--> x*sin(1/x), on voit sur le graphique que la droite (OM) a une pente qui oscille indéfiniment entre -1 et 1 quand M se rapproche de O .
Pour x-->x²*sin(1/x) la pente de (OM) tend bien vers 0.

[Ben314]

De toute façon, ce genre de "contre exemple", c'est jamais qu'une application "bébète" du théorème des gendarmes :
Si f:R->R est périodique et non constante alors la fonction g:R*->R;x->x^alpha.f(1/x) se prolonge par continuité en 0 si alpha>0 [th. des gendarmes]
De plus, si alpha>1, le prolongement va être dérivable en 0 [re th. des gendarmes] mais (en supposant f dérivable donc g dérivable sur R*) la fonction g' ne sera pas continue en 0
Et en fait, même la périodicité, c'est pas franchement utile : le tout c'est d'avoir au départ une fonction qui soit bornée et qui n'ait pas de limite en +oo.
Après, si tu demande à un matheux de te donner un exemple de fonction qui n'a pas de limite en +oo tu peut être sûr qu'il va te donne du sinus ou du cosinus et ça explique que dans tout les bouquins c'est ça qu'on trouve comme "contre exemple". Mais effectivement, la trigo n'a absolument rien à voir là dedans : si on prend f(x)=distance de x à l'entier le plus proche (= fonction en dent de scie), ça fait évidement exactement la même chose...

[Pseuda]

Bonjour Ben314,

Tu confirmes ce que j'avais compris avec les (jolis) exemples de chan79. Nul besoin des fonctions trigo, ni même périodiques, pour trouver des contre-exemples. Mais c'est vrai que quand on cherche un contre-exemple, on voit de prime abord les fonctions usuelles étudiées au lycée. C'est l'arbre qui cache la forêt.

[Pseuda]

Bonjour,

Toujours cette histoire de "sans lever le crayon". J'en arrive à la conclusion que la définition mathématique de la continuité d'une fonction R->R ne correspond pas à l'idée que l'on s'en fait, et que finalement, le terme est plutôt mal choisi. Je m'explique.

Tout d'abord, l'idée que l'on s'en fait, c'est plutôt entre 2 points ("sans lever le crayon entre ces 2 points"). Mais comment définir cette notion mathématiquement parlant ? (et je pense que c'est là le principal écueil).

On veut donc une définition en 1 point (je n'y ai pas bien réfléchi, mais supposons) : on veut partir vers la gauche ou vers la droite sans lever le crayon. Pour les fonctions de plusieurs variables, on pourrait dire qu'on peut partir dans n'importe quelle direction sans lever le crayon. Mais pour que cela corresponde à l'idée que l'on s'en fait, il faut :
- qu'on puisse se rapprocher de l'image d'un point autant qu'on veut du moment qu'on se rapproche du point (définition mathématique) ; mais ce n'est pas cet aspect qui vient en 1er à l'esprit,
- surtout : que la fonction soit monotone dans un voisinage ou partie de voisinage (à gauche ou à droite) du point ; pour les fonctions de plusieurs variables, on devrait adapter ; autant dire : gloups.

Tout cela pour dire que j'en suis arrivée à la conclusion que la notion mathématique de continuité ne correspond pas à l'idée que l'on se fait de "sans lever le crayon", parce que :
- on ne saurait pas (ou apparemment très difficilement) trouver une définition satisfaisante qui corresponde à notre intuition,
- la définition mathématique est suffisante (et peut-être même nécessaire) pour montrer le TVI (sans que la réciproque soit vraie), et pour tous les théorèmes qui en découlent.
Le seul souci, c'est que je trouve que le terme de "continuité" est mal choisi (on associe un imaginaire à cette définition, et cela ne correspond (presque) en rien à la définition mathématique).

[pascal16]

Quand on trace au crayon, on trace une fonction paramétrique (x(t), y(t)), avec des conditions du genre t n'est pas trop long et comme le crayon bave, on n'est pas très précis.

Donc, à la main, on ne sait pas tracer f(x) = 1/x pour x proche de 0, mais seulement une portion.
On peut zoomer ou dé-zoomer sur une zone, mais cela ne garanti pas du tout une continuité, et donc, pas de raisonnement par passage à la limite.

Un fois qu'on accepte de ne tracer qu'une portion de courbe et encore de manière approximative, on sait qu'on ne peut pas en faire de vrais théorèmes.

[beagle]

Pseuda:"Tout cela pour dire que j'en suis arrivée à la conclusion que la notion mathématique de continuité ne correspond pas à l'idée que l'on se fait de "sans lever le crayon", ….
Le seul souci, c'est que je trouve que le terme de "continuité" est mal choisi (on associe un imaginaire à cette définition, et cela ne correspond (presque) en rien à la définition mathématique)."

Hum tout de même.
Prenons une personne qui ne maitrise pas la définition mathématique de continu , au hasard: moi.

Ben si on me dit lever ou non le crayon rend continue ou non,
alors j'imagine que par exemple:
f(x) = 1 pou x réel non entier, f(x) = 2 pour x entier pair, f(x) non défini pour x entier impair
Et bien l'intuition me dit:
je suis obligé de grabouiller tout le 1 pour aller de 2 à 4, je ne sais pas m'interrompre en 3, avec le continue je n'arrive pas à respecter que rien en 3
Je ne vois pas comment passer avec mon crayon en 2 pour aller faire le 4 compris entre 3 et 5.
Bref ces cas de non continuité semblent bien décrit par la levée ou non du crayon.

de toutes façons il est difficile d'imaginer ce qu'est un coup de crayon sur un point, sachant qu'un point est de dimension zéro

Mais je ne comprends pas pourquoi l'intuition qui correspond à des schémas mentaux de représentation de tel ou tel domaine serait inadaptée.Que tout ne soit pas définit par l'intuition, ben oui ok. que cela discrédite pour autant le schéma mental qui est opérant dans de nombreux cas, ben bof ...

[beagle]

Il ya tout de même une sacrée différence entre la réponse de Ben314 du 17 octobre 2017 qui commence ainsi : "Ensuite, à mon sens, l'objection majeure à ne pas prendre "sans lever le stylo" comme définition…"

et l'idée que le sans lever le crayon ne donnerait pas une image exploitable de compréhension de ce qui se passe.

[Pseuda]

Mais je ne comprends pas pourquoi l'intuition qui correspond à des schémas mentaux de représentation de tel ou tel domaine serait inadaptée.Que tout ne soit pas définit par l'intuition, ben oui ok. que cela discrédite pour autant le schéma mental qui est opérant dans de nombreux cas, ben bof ...

Ce que je veux dire, c'est qu'entre l'intuition (notre schéma mental) et la définition mathématique de la continuité, il n'y en a pas une meilleure que l'autre. Elles n'ont simplement rien à voir.

La définition mathématique est en 1 point et celle d'une limite en ce point : plus on se rapproche du point, plus on se rapproche de son image par la fonction, et on peut s'en rapprocher ainsi autant qu'on veut. A la limite, on peut prolonger la fonction par continuité en ce point (si elle n'y est pas définie). Cette définition doit certainement mieux convenir à tous les théorèmes qui suivent (basés sur les limites).

Notre intuition (notre schéma mental) est entre 2 points et qu'entre ces deux points on ne lève pas le crayon. Tout d'abord, je ne vois pas comment en donner une définition rigoureuse en termes mathématiques. Ensuite, même si on en obtient une, serait-elle exploitable (pas trop compliquée) pour tous les théorèmes qui suivent ? Puis il faudrait l'adapter aux fonctions de plusieurs variables. Finalement, est-ce bien nécessaire ? Il y a la notion de connexité qui correspond à cette notion de "sans lever le crayon". Mais elle est basée sur la définition mathématique de la continuité, donc on tourne en rond.

Tout cela pour dire qu'il n'y en a pas une meilleure que l'autre, mais simplement qu'elles n'ont rien à voir. Par exemple, quand on pense au temps qui s'écoule continûment, ou bien à un flot continu, on ne pense pas en terme de limite en un point, mais en terme de non-interruption sur le trajet.

de toutes façons il est difficile d'imaginer ce qu'est un coup de crayon sur un point, sachant qu'un point est de dimension zéro

Tout à fait d'accord.

@pascal Je ne vois pas du tout ce que tu veux dire.

[Pseuda]

Cette discussion aurait mieux sa place dans "Salon mathématique" que dans l'"Entraide Mathématique". Désolée. S'il est possible de la déplacer ...

[beagle]

Bonjour Pseuda,

bon pour commencer je ne défends pas une définition maths avec le lever de crayon.
Si les mathématiciens trouvent des outils performants, précis etc... c'est très bien.

Par contre l'idée que le continu ne serait pas pris en compte par le sens commun, ou que cela ne correspond pas = pas la même notion que le sens maths avec les limites,
ben là je ne trouve pas.

Alors reprenons ton argument assez essentiel, 1 point ou 2 points.
Sommes nous vraiment en divergence de conception dans les deux approches.
Il me semble que non.
Il s'agit toujours de l'analyse d'un deux points = le segment, l'intervalle,... examiné au niveau d'un point certes dans la définition maths.
Mais regarde bien qu'il s'agit toujours d'un deux points qui est l'écart.
Il n' ya pas de trou car si je prends un écart (deux points) alors il existe encore un écart (deux points ) plus petits.Certes dans la définition maths on va vers un point donné.

Ceci ressemble au problème du 1 = 0,999...
Pour tout écart (deux points donc) entre 1 et 0,plein de 9
ben je sais trouver un écart (deux points toujours) plus petit entre 1 et 0, avec plus de 9 que le plein de 9 de tout à l'heure.
Donc nous sommes bien dans une définition à 1 point , ici le 1,
mais le sens commun géométrique d'écartement est un deux points, que l'on retrouve dans la définition mathématique également.

PS : très drole ce matin sur France musique, le pianiste Taylor parle de Ligeti et de son continuum pour clavecin,
ou comment transformer un instrument "discret" notes par notes en un instrument qui joue du continu.
https://www.dailymotion.com/video/x57zssn

[Pseuda]

Par contre l'idée que le continu ne serait pas pris en compte par le sens commun, ou que cela ne correspond pas = pas la même notion que le sens maths avec les limites,
ben là je ne trouve pas.

Bonjour,

Le problème, c'est qu'il y a des fonctions continues au sens mathématique (appelons-les CM pour alléger) qui ne sont pas continues au sens de "sans lever le crayon" (appelons-les CSLC), comme la célèbre x->x*sin(1/x) pour x<>0 et égale à 0 en 0, qui est CM mais pas CSLC en 0.

Par contre, une fonction qui serait CSLC sur un intervalle serait CM sur l'intervalle et sur tous les points de l'intervalle.
Donc CSLC sur un intervalle => CM sur cet intervalle, mais pas le contraire.

L'objection de Ben314 qui est de dire qu'on ne pourrait pas faire des opérations sur les fonctions CSLC ne me paraît pas en être une, car la somme de 2 fonctions CSLC sur un intervalle, composée, etc..., serait évidemment CSLC sur cet intervalle.

Le problème ne paraît pas non plus vraiment 1 ou 2 points : si 2 points, on peut se ramener à 1 en en fixant un, si 1 point, on peut généraliser à tous les points entre 2 points.

Bref non, la principale objection à définir la continuité en CSLC sur un intervalle ou en un point, semble bien la définition elle-même en termes mathématiques :

- si 2 points, il faut la définir par la négative : "il n'y a pas d'interruption sur l'intervalle" ; mais comment ?
- si 1 point, "sur un voisinage il n'y a pas d'interruption" ; même question.

PS : avec la pédale du clavecin, on transforme du discret en du continu, et la monotonie fait le reste.

[beagle]

"Pseuda: "PS : avec la pédale du clavecin, on transforme du discret en du continu, et la monotonie fait le reste."

ça c'est une blague de mathématicien,
c'est pas monotone!

Que les mathématiciens trouvent encore et toujours des trucs où cela ne marche pas pareil que et que donc il faut d'autres outils pour définir, ben ok c'est la vie qui avance,
mais pourquoi des notions limitées qui fonctionnent dans un certain cadre seraient pour autant à dédaigner, à rejeter. Pourquoi les anciennes notions ne pourraient rester et juste s'enrichir?

Par exemple deux droites non sécantes sont parallèles dans le plan, mais pas dans l'espace.
Cela n'oblige en rien à rejeter la notion pour le plan, cela ne rend pas la notion lorsque dans le plan, cela ne la rend pas fausse .

[Skullkid]

Bonjour,

J'ai tendance à me méfier par principe quand je lis des choses du genre "l'intuition qu'on a". C'est une pente savonneuse : je suis à peu près capable de décrire les intuitions que j'ai (et encore), mais je ne peux pas prétendre deviner celles des autres. Et en particulier en lisant ce sujet, je peux constater je ne me fais pas la même idée du "lever de crayon" que Pseuda. Par exemple ça ne me pose aucun souci de dire que la courbe de x -> x*sin(1/x) est traçable sans lever le crayon. De plus, toujours en ce qui me concerne, quand je lis un truc qui parle de limite en un point, j'ai systématiquement l'image mentale d'un deuxième point "proche", donc je ne trouve pas mon compte dans l'argument selon lequel il y aurait une différence de fond entre "la définition en un point" et "l'intuition entre deux points". Mais comme ça a été dit plusieurs fois, tant qu'on en reste à des formulations non mathématiques, on ne peut pas trancher et l'intuition de l'un vaut bien celle des autres.

Par contre, à partir du moment où on a réussi à poser un formalisme rigoureux sur une notion, alors on peut discuter pour voir si le formalisme est "bon" ou pas. En ce sens, une définition mathématique est toujours "meilleure" qu'une intuition : avec une "mauvaise" définition de la continuité (genre continuité = vérification du TVI), on peut quand même faire des démonstrations. Et pour juger de la qualité d'un formalisme, en général on ne regarde pas trop s'il est conforme à "l'intuition qu'on en a", on utilise plutôt des critères comme ceux que Ben314 a donnés plus haut : est-ce que ça se généralise bien ? Est-ce que ça donne lieu à des théorèmes puissants ? Qu'est-ce que ça permet de faire en pratique ?

J'ai l'impression que tu (Pseuda) essayes de forcer l'intuition et les maths à être exactement sur le même plan. Tu es capable de dire en même temps "certaines fonctions sont CM sans être CSLC" et "je suis incapable de définir CSLC". Y a un souci de logique : pour l'instant "être CSLC" n'est pas défini, et le seul moyen de savoir si une fonction est CSLC c'est de demander à un oracle.

[Pseuda]

Bonsoir,

Je pars du principe que toutes les théories mathématiques partent d'une intuition, de notre schéma mental, mais j'ai peut-être tort. On a une idée, on veut la mettre en oeuvre, on se pose une question, une question a été posée (par la physique)... On peut imaginer qu'on crée de toutes pièces une théorie qui n'aurait pour nous aucun sens, mais je doute que cela intéresse quelqu'un et qu'elle aille bien loin.

J'offre un grand BRAVO à celui ou celle qui arrivera à définir la continuité "sans lever le crayon".

Il se trouve que la définition mathématique de la "continuité" est la SEULE, à ma connaissance, qui n'a rien à voir avec notre schéma mental (notre intuition), en tout cas la seule qui me pose problème. On a parlé ici d'événements indépendants, on peut parler de dérivée, d'intégration, de suites, de séries, de la fonction exponentielle, de variables aléatoires, ...., tout est conforme à notre schéma mental, ..., sauf la continuité. Je pense que ceci est difficile à nier. Dès lors, je me pose la question : pourquoi ? Parmi les réponses possibles :

- il est impossible de définir la CSLC (attention une fonction qui vérifie le TVI n'est pas forcément continue et encore moins CSLC), en tout cas, personne n'y est jamais arrivé,
- une définition a été trouvée, mais elle n'a pas donné satisfaction pour ce qu'on voulait en faire,
- on se moque de ce que veut dire vraiment pour nous "la continuité" ; on l'a appelée ainsi par commodité (on sait seulement raisonner en termes de limites), mais cela pose un problème de vocabulaire.
Là, il me manque des données historiques. Je penche pour la 1ère réponse, voire la 3ème.

Si quelqu'un a la réponse ?