Devoir maison "n points avec n segments.

[Hm50]

Bonjour à tous. J'ai un DM a rendre dans 3 jours et je ne comprend pas assez un exercice qui se résume seulement a une question. Voici son énoncé:
On dispose n points sur une feuille avec n=>2
Combien de segments peut on tracer ayant pour extrémités deux points de ces b points? Démontrer ce résultat. 
J'ai essayé de faire un schéma mais en relisant plusieurs fois je n'ai pas trouvé. Merci pour tout aide

[pascal16]

par dénombrement :
pour faire un segment, je choisi l'extrémité 1 -> combine de choix.
il faut ensuite le relier à un autre point -> combien de choix
Mais j'ai compté les segments [AB] et [BA], je divise par combien ?

Variante par récurrence
je connais les combinaisons pour n points.
pour n+1 points :
_ il y a ceux qui ne contiennent pas le n+1 ieme point -> c'est mon HR
_ ceux qui contiennent le n+1 ieme point -> je dénombre.

[nodgim]

par dénombrement :
pour faire un segment, je choisi l'extrémité 1 -> combine de choix.
il faut ensuite le relier à un autre point -> combien de choix
Mais j'ai compté les segments [AB] et [BA], je divise par combien ?

Variante par récurrence
je connais les combinaisons pour n points.
pour n+1 points :
_ il y a ceux qui ne contiennent pas le n+1 ieme point -> c'est mon HR
_ ceux qui contiennent le n+1 ieme point -> je dénombre.

Il me semble qu'il faut aller un peu plus loin....

[pascal16]

Si on va trop loin, on sort de la feuille.

Quel problème as-tu vu ?

2pts -> 1 segment
3pts -> 3 segments
4 pts > 6 segments
5 pts -> 10 segments

[nodgim]

ça doit être bon, quoique..... Je voyais non pas le nombre de paires différentes possibles, mais le nombre de configurations où tous les éléments sont reliés deux à deux.
Il s'agit en fait ici de calculer le nombre de diagonales, si les n éléments sont sur un cercle. Enfin, pour ce que je comprends.

[pascal16]

pour nodgim : https://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_complet

[WillyCagnes]

bjr,

problème similaire
Douze enfants s'échangent des poignées de mains, chacun à chacun une seule fois. Combien y a-t-il de poignées de mains ?

http://www.recreomath.qc.ca/lex_mains_poignees.htm

[nodgim]

Oui, mais cette question là est élémentaire. Cette autre l'est un chouia moins : Soit 2 n éléments, chacun d'eux s'associe à un seul autre, l'ensemble des n paires formées est une configuration. Combien existe t'il de configurations différentes ?

[beagle]

c'est un grand classique (euh le message initial, pas le dernier truc de nodgim) et qui peut se voir de plein de façons,
une façon assez sympa c'est aussi le tableau:
lignes, les points A,B,C,D...
colonnes les points A,B, C, D)
une case c'est (A,D), ou (C,B)

sur le tableau on voit très bien:
n² cases
une diagonale de (A,A), (B,B), (C,C) qui est à enlever
nous sommes à n² - n cases
et effectivement les cases symétriques (A,E) et (E, A) sont comptées deux fois

n²-n / 2= n(n-1)/2

[Hm50]

Merci tout le monde pour vos réponse. J'avais oublié de préciser que la formule ((n(n-1))/2 ,je l'avais trouvé. Mon problème est comme la démontrer et si elle constitue une réponse à la question demandée. Pour la démonstration j'ai commencé par l'initialisation de récurrence qui marche avec n=2 où P2 est vraie mais c'est a l'hérédité que je bloque. Merci pour tout renseignement, mo DM est a rendre pour mercredi.

[beagle]

le premier message de Pascal commence ainsi:
"par dénombrement :
pour faire un segment, je choisi l'extrémité 1 -> combine de choix.
il faut ensuite le relier à un autre point -> combien de choix
Mais j'ai compté les segments [AB] et [BA], je divise par combien ?"

...................

Pour un point donné tu as n-1 segment
il y a n points
donc n x (n-1) segments construits ainsi,
saut que ceci fait compter tous les segments deux fois
donc n(n-1)/2

....................................

franchement la récurrence pour cet exo, c'est horrible, non?

[Hm50]

J'ai parlé de récurrence ça c'est un sujet très abordé ces derniers temps dans la classe et pas très acquis donc ça m'a supposé que c'est ce qu' le professeur attendra de notre part. C'est pour ça que je n'ai que cité cette exemple de démonstration. Si je vous comprend on peux s'en passer ici voire même c'est difficile de l'utiliser?
Merci quand même pour votre réponse, j'y vais tout de suite pour la rédaction et je vous tiendrais au courant de mon avancé.

[beagle]

J'ai parlé de récurrence ça c'est un sujet très abordé ces derniers temps dans la classe et pas très acquis donc ça m'a supposé que c'est ce qu' le professeur attendra de notre part. C'est pour ça que je n'ai que cité cette exemple de démonstration. Si je vous comprend on peux s'en passer ici voire même c'est difficile de l'utiliser?
Merci quand même pour votre réponse, j'y vais tout de suite pour la rédaction et je vous tiendrais au courant de mon avancé.

Le problème ici de la récurrence c'est que tu vas balancer une formule qui est soit tombée du camion, soit ut as une vague idée de pourquoi cela pourrait ètre cela, tu vois vaguement que c'est la bonne formule.Je ne sais ce qu'en pense les profs, mais perso le type qui voit seulement vaguement ce qui se passe ici,
je préfère qu'il prenne son temps à bien voir à quoi on joue.
Mais tu peux le faire à la maison avec 3 ou 4 points, tu dessines au feutre de couleur les segments qui partent du point A, d'une autre couleur les segments qui partent d'un point B, et troisième couleur les segments qui partent d'un point C.Pour 3 points de A tu vas voir 3-1 = deux segments
de B 3-1 = 2 segments, de C 3-1 =2 segments
et tu vois clairement qu'avec les couleurs tu espassé deux fois entre A et B, deux fois entre B et C...
tu dois tout diviser par 2.
donc des n points il part n-1 (on enlève d'où cela part): n(n-1)
et faut diviser par deux.

[Hm50]

Juste une dernière question. Un ami a essayé de démontrer par récurrence mais je suspecte sa démonstration et comme n'étant pas très fort dans ce sujet,je voudrais faire appel une dernière fois à vous. Voilà ce qu'il a écrit:
On supposé que pour un entier naturel n Pn est vraie (ou que Un=((n(n-1))/2 ); on démontre que Pn+1 est vraie ( ou que Un+1= ((n+1)(n+1-1)/2 ).
Un+1= Un + n
= ((n(n-1))/2 ) + n
= ((n(n-1))/2 ) + (2n)/2
=((2n + n(n-1))/2
= ((n(2+n-1))/2
=(n^2 - n )/2
= ((n(n-1))/2
= Un+
D'OÙ Pn+1 est vraie.

[beagle]

deux choses sur ta récurrence,
déjà perso j'en reste à mais d'où vient la formule?
mais admettons
tu as cafouillé dans les dernières lignes
pour retomber sur Un??? c'est la formule de Un à la fin!
alors que c'était bon et que tu allais arriver à
Un+1 = (n+1) (n+1-1)/2
comme tu l'as très bien écrit en haut

Ensuite avec du Un tu peux faire du vrai boulot.
Je sais que Un+1 lorsque je rajoute un point en plus des n déjà là,
ben si je connais le nombre pour n, du n+1 nouveau point je vais faire partir en effet n segments nouveaux
Donc OK, bravo pour le Un+1 = Un + n

Mais avec cela tu peux jouer,
avec 1 point pas de segment ,0
avec deux points 1 seul segment
donc
U2 = U1 + 1
et U3 = U2 + 2
etc...et là faut savoir faire
U1 = 0
U2 = 0+1
U3 = 0+1+2
U4 = 0+1+2+3
....
Un = ...

[beagle]

sinon:
=((2n + n(n-1))/2
= ((n(2+n-1))/2
=(n^2 - n )/2 cette ligne ne va pas

=((2n + n(n-1))/2
= ((n(2+n-1))/2
=n(n+1)/2
=(n+1)[ (n+1) -1]/2
=Un+1