DM Terminale S Suites

[DragonArgentetOr]

Bonjour à tous, j'ai un DM à rendre pour la semaine prochaine, mais je bloque à une question de l'exercice 2: voici son énoncé:

Exercice 2 : Une suite 3 étoiles

Soit la suite (Un) définie pour n e N, par { U1 = 1
{ Un + 1 = (n+1)/(4n) * Un

a) Calculer u2 et u3

b) Sur la copie, recopier et compléter l'algorithme suivant, qui doit permettre d'obtenir le terme de rang N de la suite (Un) pour un rang N choisi:

Variables N est un entier ; K est un entier ; U est un réel.
Entrée : Lire la valeur de .......
........ prend la valeur..........
Traitement : Pour K allant de 1 à .........
U prend la valeur ........
Fin de Pour
Sortie : Afficher..............

c) Démontrer que la suite (Vn) définie par Vn= Un/n est une suite géométrique.

d) En déduire que l'expression de Un en fonction de n, pour n>=1 est : Un = n/(4^(n-1)

e) On admet que les termes Un sont positifs. Etudier la monotonie de (Un).
Conjecturer le comportement de (Un) quand n tend vers + 00.

J'ai pour l'instant répondu:

a) U1= 1
Un+1= (n+1)/(4n) Un

U2= (1+1)/(4*1) *1
U2= 0.5

U3= (2+1)/(4*2) *0.5
U3= 0.1875

b)

c) Vn= Un/n
Démontrons que Vn est géométrique en calculant Vn+1/Vn
On détermine Vn+1:
Vn= (n+1)/(4n)/(n) *Un
Vn+1=((n+1)+1)/(4n+1)/(n+1) * Un+1
Vn+1=((n+1)+1)/(4n+1)/(n+1) *((n+1)+1)/(4n+1)
= ((n+1)²+1)/(4n+1)²/(n+1)
= ((n+1)²+1)/(4n+1)² * (n+1)/1
= ((n+1)^3 +1/(4n+1)²

C'est là que je bloque, je ne sais pas comme résoudre le calcul, si jamais je ne me suis pas complètement trompé avant, ce qui est probable, je vous remercie d'avance pour votre aide.

Cordialement.

[chan79]

salut
tu t'es compliqué la vie



est alors facile à calculer

[DragonArgentetOr]

Ok, merci de ton aide, c est vrai que c'est bien plus simple de cette façon (et rapide), par contre à la question suivante, je ne vois pas comment trouver un grace a vn, je vois bien qu il y a un lien ou yne relations entre les deux mais je ne vois pas lequel.

[infernaleur]

Comme tu as montré que (Vn) est géométrique tu peux avoir une relation rentre Vn et n tu en déduiras la formule de Un

[DragonArgentetOr]

J ai beau essayer je ne trouve jamais le résultat attzndu, je n'arrive pas à fairz apparaître de quotient et je troyve un=4^n × n

[Tiruxa47]

Bonjour

Vn est géométrique de raison 1/4 et de premier terme V1=1 (et non pas V0)

Applique ensuite la formule du cours

Ensuite Vn=Un/n donc Un = n*Vn

[DragonArgentetOr]

ok, j'avais fait une erreur dans le calcul de la raison, par contre je trouve n*1*(1/4)^n= n/4^-n

[DragonArgentetOr]

Après pour la question e: j'ai fait Un+1-Un= (n+1)/(4n) *n/(4^n-1) - n/4^n-1
(-3^n² + n)/(16n^n-1), je ne sais pas si c'est correct mais par contre je ne sais pas comment étudier le signe de ce résultat..

[chan79]

Après pour la question e: j'ai fait Un+1-Un= (n+1)/(4n) *n/(4^n-1) - n/4^n-1
(-3^n² + n)/(16n^n-1), je ne sais pas si c'est correct mais par contre je ne sais pas comment étudier le signe de ce résultat..

Réduis au même dénominateur

[DragonArgentetOr]

Mais tu fais quoi de *Un?

[chan79]

Mais tu fais quoi de *Un?

Tu as trouvé
et donc

[DragonArgentetOr]

ah ok, j'ai compris, mais ça me ramène au même problème, en réduisant au même dénominateur, je trouve (4n^(n-1) +4^(n-1) -4n^(n))/4^(2n-1), et je ne sais pas simplifier ça

[DragonArgentetOr]

bon, tant pis, j'essaierai de me débrouiller avec ce que j'ai

[pascal16]

je prends le train en marche :



on met tout sur "4^n"

[DragonArgentetOr]

merci bien, je peux finir l'exo grâce à ton aide in extrémis, car mon calcul était bien faux, et je m'était encore bien compliqué la vie, il tenait sur une page alors que là sur 4 lignes..