Salut,
Pour le 1),
l'escalier du diable te montre qu'une fonction croissante et continue peut avoir un ensemble de "non dérivabilité" non dénombrable.
Je sais pas si on peut dire quelque chose sur cet ensemble de "non dérivabilité" (de mesure nulle ?), surtout si on suppose uniquement la fonction monotone (mais pas forcément continue) : à voir...
2) Si les fn sont continues (donc f aussi), évidement que c'est vrai. Et si les fn ne le sont pas, évidement que c'est faux.
3) Je sais pas trop ce que tu attend comme réponse : l'intérieur d'un convexe est convexe (assez évident), mais peut évidement être vide : il suffit de regarder un convexe "classique" de R^2 comme étant en fait une partie de R^3 pour que d'un seul coup son intérieur devienne vide (la notion d'intérieur est évidement relative à l'espace ambiant dans lequel on travaille). Et évidement, si tu part d'un convexe fermé "classique" de R^2, ben vu comme une partie de R^3, sa frontière, c'est lui même.
Pour éviter ces cas là (où ton convexe est contenu dans un s.e.a. strict de l'espace), on précise souvent qu'on part justement d'un convexe
d'intérieur non vide de E. Et dans ce cas, il doit effectivement y avoir des choses à dire par exemple sur sa frontière.
Question : Pour un convexe de R^n, y-a-t-il
équivalence entre "d'intérieur vide" et "contenu dans un s.e.a. strict" ?
et sinon, comme toujours, il faut se méfier si on considère les cas des e.v.n. de dim infini : ils peuvent posséder des s.e.v. stricts (donc des convexes) qui sont denses...4) Je comprend pas la question.
