Salut,
Je pense avoir une soluce :
On regarde (évidement) les
comme étant des fonctions de la variable
, c'est a dire en fait qu'on considère la fonction
et qu'on regarde la formule de récurrence comme définissant
la fonction en partant de
la fonction .
Il est clair (récurrence) que les fonctions
sont des homéomorphismes strictement croissant de
sur lui même et qu'elle sont
sur
. Pour tout
et tout
(donc
) on a alors les équivalences suivantes :
qui est en fait l'abscisse de l'unique point d'intersection (autre que (0,0)) des courbes de
et de
.
On a alors
donc
.
Mais d'un autre coté, il est clair (récurrence) que
pour tout
donc
ce qui garantie que la suite
converge vers un certain
.
On va montrer que la suite
(1) tend vers 0 si
(2) tend vers
si
(3) tend vers
si
(où
est la limite de la suite décroissante et minorée
)
Constatons déjà que, si pour un certain
la suite
converge vers un réel
alors, en passant à la limite dans la formule de récurrence, on obtient
donc
ou bien
.
(1) Considérons un
.
Par définition d'une limite, il existe un
tel que, pour tout
, on ait
ce qui implique que la suite
est décroissante à partir du rang N donc convergente (car minorée par 0) vers une limite
.
Mais
donc
et on a forcément
(2) Considérons un
et écrivons
avec
.
On a évidement
pour tout
(car
est croissante) ce qui signifie que
est croissante.
D'un autre coté, on a évidement
pour tout
et la formule de récurrence permet de voir que
(l'autre terme dans la dérivée du produit est positif).
Pour tout
on a alors
et on en déduit (par récurrence) que
pour tout
.
Le T.A.F. nous dit alors que
ce qui signifie que si la suite (croissante)
convergeait vers un réel
on devrait avoir
ce qui est impossible.
Donc la suite tend vers
.
(3) Si
alors
pour tout
donc
est croissante.
D'un autre coté, si on fixe un
, la suite
est croissante de 1 à
(puis décroissante) ce qui signifie que pour tout
on a
et en prenant la limite de cette inégalité lorsque
(avec
fixé) on en déduit que
. Cela assure que la suite
est convergente et, comme sa limite ne peut être 0 (elle est croissante), c'est forcément