Intégrale difficile

[Lostounet]

Bonjour,

Comment feriez-vous pour démontrer (simplement?)


désigne la constante d'Euler-Mascheroni


(J'ai une solution possible que j'ai trouvée sur le net mais c'est un peu astucieux: c'est pas si difficile à posteriori si on sait qu'on doit faire intervenir la dérivée de Gamma(x) au point x=1)

[aviateur]

Bonjour
Très belle question.
J'ai trouvé une solution, je ne sais pas s'il y a + simple. Pour faire court, je la donne dans les grandes lignes et laisse au lecteur le soin de vérifier les détails, en particulier les convergences sont faciles à voir.
1. On pose
Une i.p.p donne
2. Je pose
On choisira pour une raison qui apparaitra par la suite.
On considère un contour constitué du segment[-R,R] et du demi cercle C_R "supérieur" de rayon R.
Le théorème des résidus donne
où (c'est à dire que les singularités de tanh(z) sont de la forme et sont dans lorsque )

3. Une petite étude montre que d'où


4. On a aussi . On a donc avec R bien choisi (on peut pour simplifier prendre R=R_n tel que ) :



5. Encore un petit bricolage pour utiliser que
et faire tendre vers l'infini pour obtenir le résultat.

[Lostounet]

Génial aviateur ! Merci beaucoup.

J'ai commencé à refaire, j'ai beaucoup aimé la manière de passer les singularités avec R_n... (jamais vu cette méthode)

Encore merci, j'exposerai quand je pourrais la méthode que je connais qui utilise la fonction Gamma

[aviateur]

bonjour
@lostounet j'ai regardé un peu la méthode dont tu parles, c'est à dire utiliser la fonction en x=1.
Ensuite je fais une i.p.p et on devrait pouvoir faire les calculs en passant par les résidus. Je me demande si finalement cela revient au même. ?

Sinon, ci-dessous, je précise un peu les calculs précédents fait ''à la va vite" et je les finis pour voir si on trouve le même.
1. D'abord il faut (on peut) prendre les singularités de la fonction qui sont dans ce contour sont bien

2. Pour voir que l'intégrale c'est simple. Bien sûr, on pose et on décompose l'intégrale en partie réelle et partie imaginaire.
L'intégrale de la partie réelle est nulle car le changement remplace la fonction par son opposée. On peut s'amuser à montrer que la partie imaginaire est un o(1) mais le résultat est immédiat car par passage à la limite la partie imaginaire disparait.

3. Finalement on a montré que


et donc






4. Fin du calcul.

On pose Il est bien connu que


Posons On a:



Ainsi




D'où le résultat par passage à la limite.

[Lostounet]

Salut Aviateur,

Si tu veux bien qu'on revienne sur cette intégrale.. !

Voici une autre méthode qui m'a aussi beaucoup plu. Tous les passages à justifier (a posteriori) seront notés par un (*)

Introduisons l'intégrale paramétrique:
en supposant que le dénominateur possède deux racines complexes conjuguées (discriminant négatif strict).

On met donc sous forme polaire avec donc:



Première étape: évaluons

((*) Lemme à prouver par la suite): Utilisons le lemme d'interversion des sommations suivant:
Si P est de la forme d'un DSE, , nous avons:
avec L qui désigne

Maintenant, pour tout n'annulant pas, nous avons

qui incite à poser qui n'a pas de singularités polaires par hypothèse. P(x) a un DSE de la forme:
(**)

Cela permet d'extraire Maintenant nous essayons d'appliquer le Lemme d'interversion il nous faut donc les valeurs de L(1) et L'(1).

Pour par le théorème de Dirichlet (en utilisant la transformée de Fourier d'une fonction C1 par morceaux, en tout point de continuité).

La dérivée de L vaut (**) .

On établit (***) ensuite que:

Soit plus explicitement, en faisant intervenir la fonction Digamma (): (E)



Finalement, la question posée du calcul de
se ramène par changement de variable

au calcul de

qui n'est autre que .

En remplaçant dans (E) par les valeurs souhaitées et en utilisant des valeurs remarquables de la fonction Digamma, comme Digamma(1/4) et Digamma(3/4), nous aboutissons à:
et à un moyen de calculer l'intégrale pour plusieurs exposants possibles.

[aviateur]

Bonjour @lostounet. C'est assez recherché!! Je suppose que tu es parti de l'intégrale de départ et puis que tu as effectué un changement de variable pour commencer à travailler avec les intégrales F_m,j et G_m,j?
Sinon il y a tout l'air que formellement cela semble exact.
Bien entendu il y a toutes les chances que les opérations sont justifiables. Mais il y en a pas mal. Ne serait ce que L_p'(1)....exct.
Il y a de quoi faire un bon devoir d'analyse.

Oui il y a un gros travail de justification

[Lostounet]

À vrai dire pour remettre les choses en contexte, j'avais déjà fait le cas n=0 au détour d'un devoir (et c'est tout un travail déjà).

En fait l'intégrale se ramène par changement de variable à une intégrale spéciale connue sous le nom "Intégrale de Vardi" qui fait intervenir ln(ln(1/x)) × une fraction rationnelle (typiquemet l'inverse d'un polynôme de degré 2). Et ça je l'avais remarqué rapidement.

J'étais persuadé qu'il y aurait un lien entre toutes ces intégrales là et j'ai cherché des références comme ici car je ne trouvais pas comment faire le lien.

Exemple:

https://www.google.fr/url?sa=t&source=w ... snXICIlclE

Mais en tout cas le passage qui consiste à faire une dérivée partielle ne vient pas de moi (et c'est une des parties que j'ai le plus appréciées et que j'ai souhaité partager avec toi). Je n'ai fait que rédiger la méthode an ajoutant quelques justifications et en traduisant des passages peu lisibles.

Dans tous les cas cela reste une jolie intégrale (moins ardue que celle proposée par Pythalès cet été mais quand même!). La question est si simple, la réponse aussi mais le cheminement est loin d'être élémentaire.