Fonctions adjacentes

[Flyingkiki]

Bonsoir à tous les matheux

Je suis en pleine révision, et j'ai un exercice ( parmi d'autres ) qui me bloque.
Je vous donne l'énoncé ( ça évitera les soucis que j'ai eu l'autrefois ) :

(Un) et (Vn) sont deux suites adjacentes définies par Uo=0 et Vo=2, et pour tout entier naturel n ;
U(n+1)= (3Un + 1)/4
V(n+1)= (3Vn + 1)/4

* Démontrez par récurrence que Un<=1<=Vn
* Démontrez que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes et trouvez leur limite commune.

La question embêtante est la seconde.
Je trouve que (Un) est décroissante et (Vn) croissante, jusque là ça va. Mais quand je veux faire : lim (n vers + infini ) ( Un - Vn ), il faut que je calcule (Un) et (Vn) en fonction de n.
Mais je ne connais pas la raison, et je ne sais pas si elle est arithmétique ou géométrique...

Ca doit être tout simple, mais bon :hum:

Merci de votre aide
Killian

[Quidam]

Mais quand je veux faire : lim (n vers + infini ) ( Un - Vn ), il faut que je calcule (Un) et (Vn) en fonction de n.

Faux ! Tu peux le faire (ce n'est pas très difficile) mais il ne faut pas le faire ! Je veux dire qu'ici, ce n'est pas obligatoire !
Calcule donc en fonction de

[Flyingkiki]

D'accord merci Quidam.
Donc je dois calculer U(n+1)-V(n+1) :we:

Juste par curiosité, comment ferais-tu pour calculer ici Un en fonction de n par exemple ( succintement, je ne veux pas t'embêter ;) ) ? Parce que je ne vois pas :triste:

[Quidam]

D'accord merci Quidam.
Donc je dois calculer U(n+1)-V(n+1) :we:

Juste par curiosité, comment ferais-tu pour calculer ici Un en fonction de n par exemple ( succintement, je ne veux pas t'embêter ) ? Parce que je ne vois pas :triste:

Lorsque l'on a une définition de suite du type :
,
il sufiit de chercher a pour que la suite soit géométrique ! En effet,


permet d'écrire :


Si l'on choisit a pour que , ce qui revient, si n'est pas égal à 1, à :

(si , de toutes façons, le problème est différent, est alors une suite arithmétique et on n'a rien à "chercher")

On trouve donc un et un seul a qui convient. De là, puisque est géométrique de raison , on peut écrire immédiatement :