Dm spécialité MATHS TS

[mnx]

Bonjour,
Je bloque sur une question de mon DM.
Résoudre l'équation dans Z :
(x+3)^2 congrus à 1 modulo 4
Merci de votre aide.

[zygomatique]

salut

[Pseuda]

Bonjour

Pose x+3=a et commence par résoudre l'équation : a^2 congru à 1 modulo 4 avec une table de congruence :

si a =0 (4), alors a^2= ? (4),
si a =1 (4), alors a^2= ? (4),
etc...

Pas vu le message de zygomatique, j'envoie quand même.

[Ben314]

Surtout que d'écrire ça, c'est quand même LE piège à c... : Z/4Z n'est pas intègre...

A mon avis, surtout lorsqu'on débute sur les congruence, un truc comme ça, faut le faire complètement "à la main" (4 c'est vraiment pas très grand) :
Si x=4k alors (x+3)² = ... = 4x? + ?
Si x=4k+1 alors (x+3)² = ... = 4x? + ?
Si x=4k+2 alors (x+3)² = ... = 4x? + ?
Si x=4k+3 alors (x+3)² = ... = 4x? + ?

Voire éventuellement en commençant comme le fait pseuda. par résoudre a²=1 mod 4, mais même ça, ça me semble pas archi. indispensable.

[zygomatique]

Surtout que d'écrire ça, c'est quand même LE piège à c... : Z/4Z n'est pas intègre...

bof : quand on le sait ce n'est pas gênant

(quand je dis on le sait il n'est pas question de connaitre le mot "intègre" mais de savoir ce qu'il veut dire)

mais il est bon d'apprendre ... comme tu le dis en étudiant tous les cas ...

[pascal16]

on teste les valeurs 0;1;2;3 avec un beau tableau et c'est fini (comme proposé plus haut).

sinon, oui, on peut faire un calcul de "delta" dans des anneaux non intégres, il y quelques conditions
ex : https://www.ilemaths.net/sujet-equation-du-second-degre-dans-z-nz-187579.html
on peut encore diminuer les condition par régulier à gauche/à droite pour élargir encore les possibilités.

[Pseuda]

Oui cela donne une autre méthode de résolution :

(x+3)^2=1 (4) ssi x^2+6x+9=1 (4) ssi x*(x+2)=0 (4), équation dont les solutions sont évidentes.

[mnx]

J'ai fais ma table de restes.
Après quelques calculs:
j'ai trouvé x congrus à 2 modulo 4 et x congrus à 0 modulo 4, mais pour x^2 il n'y a pas de reste égal à 2 dans la table. Je ne sais pas si il faut conservé le x congrus à 2modulo 4 du coup.
Sinon pour x congrus à 0 modulo 4, x=4*k+0
et pour x congrus à 2 modulo 4, x=4*k+2
Donc x peut prendre toutes les valeurs multiples de 4 et toutes les valeurs multiples de 4 auxquelles on ajoute 2. Mais x ne doit pas valoir que quelques valeurs et pas des "milliers"?

[Pseuda]

Ce qui compte c'est x (l'inconnue dont on cherche les valeurs). Tu as donc trouvé qu'il fallait que x soit congru à 0 ou à 2 modulo 4.

Il peut y avoir des centaines de solutions, des milliers, en fait il y en a une infinité. Tu peux t'arrêter là, comme tu peux simplifier encore.... x congru à 0 ou 2 modulo 4, donc x s'écrit 4k=2*2k ou 4k+2=2*(2k+1). Dans les 2 cas x est ... (très simplement).