Equation sur Z^2

[Lostounet]

Bonjour,

Je cherche à résoudre, sur Z^2, l'équation suivante:



avec n = 5 (c'est un cas particulier de courbe de Mordell)

Quelques constats élémentaires conduisent à expédier des cas triviaux (du genre 0<x<y) et y < 0.

Maintenant les choses se corsent: j'ai essayé de regarder dans Z[i√5] ce que cela donne:
(x + i√5)(x - i√5) = y^3
Il me faut maintenant pouvoir déduire quelque chose de cela... quelqu'un pourrait-il donner des indications?
Je pense qu'il faut exploiter les propriétés de cet anneau (factoriel/euclidien...) pour aboutir à une mise en facteur en irréductibles (comme vu pour d'autres équations de ce style).

Quelqu'un pour me rafraîchir la mémoire en théorie des nombres?
Merci!

[Ben314]

Salut,
Ben ça va être vite fait comme "propriétés" : Z[i.racine(5)], il est même pas factoriel :
(1+i.racine(5)) (1-i.racine(5)) = 2 x 3 (où les 4 sont irréductibles)
Donc y'a rien qui marche au niveau arithmétique élémentaire.

[Lostounet]

Bonjour Ben,

Merci de ta réponse..
Oui effectivement c'est pas pratique.

Peut-on dire quelque chose sur le produit d'idéaux? Ou c'est mort?

Je viens de voir un document pour n=28 et c'est effectivement très loin de l'élémentaire. Mais je me disais que pour n=5 ce serait plus simple.

[Ben314]

Honnêtement... j'en sais rien...
Je sais qu'effectivement, historiquement parlant, la notion d'idéal était là pour essayer de faire plus ou moins de l'arithmétique dans des anneaux non factoriels, mais je sais pas exactement comment on procède.
Sinon, perso. ce genre d'équation, tout ce que ça évoque c'est les courbes elliptiques (il y a une structure de groupe dessus), mais c'est pas un domaine que je domine un max...

Ils utilisent quoi comme outils pour n=28 ?

[Lostounet]

En fait je viens de voir un document qui traite l'équation n=5:

https://www.google.fr/url?sa=t&source=w ... tU6iD9MbWS

Par contre ils la résolvent de deux manières: la première en réduisant modulo 4 et la deuxième méthode (ils disent explicitement qu'elle est fausse telle qu'elle est rédigée!) qui allait plus dans le sens que je cherchais...mais qui est foireuse.

Page 2 et fin page 8.

Bon j'ai pas encore vérifié la preuve page 2..Je ne sais pas quoi penser de ce document.

Par contre n=28 est très difficile (ils disent en intro que c'est celle qui n'était pas résolue pour le plus petit n tel que n<100). Ils utilisent une combinaison de théorèmes pour réduire le nombre de calculs à faire numériquement...

http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 3-main.pdf

[Lostounet]

Pour info Ben, j'ai testé algorithmiquement chaque couple d'entiers et j'ai pas trouvé de solution (jusqu'à x vers 10^5 et y comme il faut car y^3 croît plus vite).

Finalement la 1ère preuve du pdf peut être exacte.

[Ben314]

De toute façon, la deuxième preuve, ils le disent eux même à la fin, ça marche pas vu que l'anneau est pas factoriel.
Sinon, ben en regardant un peu le PDF, ça donne quand même l'impression qu'on a pas trop de "théorie générale" qui marchent dans ce type d'équation et donc qu'il faut chercher des astuces au "cas par cas" en fonction de la valeur de n.
Bref, à mon sens, ça ressemble plus à des trucs d'olympiades (= astucieux et souvent pas trop généralisable) qu'à des trucs super académique.