Validité de la division d'un polynôme complexe

[Dudier]

Après relecture de mes notes de cours, une partie me laisse perplexe :

"Est-ce que le polynôme z^2 + (1-i)z - i = P(z) est divisible par (z-i) ?

On calcule P(i) = i^2 + (1-i)i - i = -1 + i + 1 -i = 0

==> z = i est une racine "

Je ne comprend pas ce que mon enseignant veux dire par là : pourquoi remplace utilise t'il P(i) pour prouver que P(z) est divisible par (z-i) ???

De plus, que veux-il dire par z=i est une racine ?


Merci d'avance à celui ou celle qui voudra bien prendre le temps de me répondre, je suis complètement perdu et je suis incapable de comprendre cette partie de mon cours...

[zygomatique]

salut

et

que vaut


soit R un polynome quelconque : que peux-tu dire du polynome ?

[Dudier]

mais je vois pas en quoi ça me permet de savoir que ça divise P(z). Désolé si je suis lent à comprendre mais j'ai vraiment l'impression d'être un débile et de demander de l'aide pour quelque chose de trivial...

Sinon pour le polynôme quelconque, je dirais qu'il est égal à zéro si z = i... je suppose que ça doit m'aider à comprendre ma question mais je vois pas... l'énoncée parle d'une division et la c'est une multiplication

[Lostounet]

Salut! Pour comprendre ce fait, il faut se souvenir de ce que signifie que z=i est solution de P(z)=0.

Cela vient du fait que quand tu factorises P(z), tu dois l'écrire comme une équation produit nul. Par exemple P(z)=(z-i)×(z-b) avec b un nombre.

Dire que (z-i) divise P(z) veut dire que P(z) s'écrit comme (z-i) fois quelque chose! Comme quand je te dis 4 divise 24 cela veut dire 24=4×quelque chose.

Quand tu prouves que P(i)=0 cela veut dire que P(z)=0 s'écrit (z-i)×quelquechose = 0. Donc au moins l'un de ses facteurs est nul donc z-i =0 ou le quelquechose=0
C'est la même chose non?

[Dudier]

Ok je crois que je vois ce que tu veux dire, contredis moi si j'ai tort ^^

L'ensemble des solutions d'un polynôme est l'ensemble des valeurs pour lesquelles le polynôme s'annule ( P(z) = 0)

=> ici :

Donc soit (z-i) = 0, soit le quelque chose... Mais comme on ne connait pas le quelque chose, on cherche pour quelle valeure (z-i) = 0...

ça me semble très complexe pour une simple division...

[Lostounet]

Si on sait pour quelle valeur z-i=0 ...c'est z=i !

Et puis ce quelque chose on va le trouver :p

[Dudier]

Du coup essayons avec autre chose pour être sûr que j'ai compris :



Les solutions sont les valeurs pour lesquelles P(x) = 0

Donc, si on veux savoir si le polynôme P(x) est divisible par , il faut que ?

Et comme en posant car les i se simplifient, P(x) est divisible par Q(x)

Merci bcp de passer consacrer du temps à l'aide de noobs du milieu comme moi qui essayent tant bien que mal de comprendre un peu les maths ^^

[Dudier]

Ah ouais on peux trouver le quelquechose ? Je vois pas vraiment comment, et ça m'intéresse même si c'est pas dans la question initiale ^^

[Lostounet]

Si tu développes (z-i)(z-a) et que tu identifies avec les coefficients de départ tu peux trouver le quelque chose.
Ou bien si tu fais la division de P(z) par (z-i). Sais tu faire ça?

[Dudier]

Diviser P(z) par (z-i) c'est faire une division polynomiale ? (Un peu comme les divisions qu'on a appris à faire en primaire mais avec des polynômes )

En fait je me disais que pour savoir si P(z) est divisible par (z-i) il fallait faire la division polynomiale et trouver une réponse, mais la prof a fait le truc que je comprenais pas juste avant...

Sinon t'as pu checker si mon deuxième exemple est cohérent (et que j'ai compris du coup ^^) ?

[Lostounet]

Oui...
Là je suis à la salle de muscu je fais les biceps. Je te réponds après :p

[Dudier]

top ahaha c'est gentil ^^

[Lostounet]

Ok je crois que je vois ce que tu veux dire, contredis moi si j'ai tort ^^

L'ensemble des solutions d'un polynôme est l'ensemble des valeurs pour lesquelles le polynôme s'annule ( P(z) = 0)

=> ici :

Donc soit (z-i) = 0, soit le quelque chose... Mais comme on ne connait pas le quelque chose, on cherche pour quelle valeure (z-i) = 0...

ça me semble très complexe pour une simple division...

Euh ça me fait peur un peu ta façon de décrire les choses... ! On va reprendre doucement et proprement.
Rappel d'une époque lointaine:

Si tu as un nombre comme 10 et qu'on l'écrit comme produit de facteurs premiers, cela donne quoi?
. Si je te dis que 2 divise 10, cela voudra dire que , non?

Ici c'est exactement pareil: P(z) = z^2 + z - iz - i est un polynôme. Je veux l'écrire comme produit de facteurs "premiers" (je mets entre guillemets car c'est pas exactement ça mais on n'a pas besoin de rentrer dans ces eaux).

Comme tu le vois, P(z) est sous forme développée (c'est une somme) et non pas factorisée (pas un produit donc)! Je dois donc trouver un moyen de le factoriser.

Je calcule P(i) et je trouve 0. Cela me donne une information précieuse: la forme factorisée de P on ne la connaît pas encore, mais on sait qu'elle est de la forme (z - i)*un autre polynome ! Pourquoi? Car quand tu résous P(z) = 0 en utilisant la forme factorisée, tu es sur que tu vas tomber sur "z - i = 0 " ou "polynome = 0" quand tu vas résoudre l'équation produit nul.
C'est comme si je te dis (x - 1)(x - 2) = 0 alors x = 1 ou bien x = 2.

Si je te dis que j'ai un polynôme P avec P(1) = 0, tu sais qu'il a une factorisation de la forme (x -1)*un autre polynôme.

C'est tout ce qu'il faut savoir ! Le fait que le quelque chose puisse valoir 0 on s'en fout: on te demande juste de dire si effectivement P(z) = (z - i)*polynome.
Et c'est vrai car P(z) = 0 a pour solution possible z = i.


Maintenant comment trouver ce quelque chose? 10 = 2*quelquechose... ben on fait 10/2 = quelque chose

Ici c'est pareil ! On doit faire la division euclidienne du polynôme P(z) par (z - i). Comme on a montré que (z - i) divise P(z) alors on sait que le reste de la division euclidienne de P(z) par (z - i) sera 0.
(C'est comme si je te disais de diviser 10 par 4, tu me dis 10 = 4*2 + 2 le reste 2 est non nul). Or comme 2 divise 10, tu as 10 = 2*5 + 0 (le reste est nul)).
Donc il suffit de poser et effectuer une division ! Dans 10 combien j'ai de "2" ? Ben.. 5


Une autre méthode (moins "fun") consiste à dire que P(z) est de degré 2, et (z - i) est de degré 1. Donc le "quelquechose" est de degré 1 aussi ! Donc de la forme (az + b).

Alors
Mais on sait que P(z) = z^2 + z - iz - i = 1*z^2 + z(1 - i) + (-i)

Cela veut dire que a = 1, (b - ia) = 1 - i
et (-i) = -ib
Donc a = 1, b=1 !
Alors en fait donc (z + 1) divise aussi P(z). En effet P(-1) = 1 - 1 + i - i = 0

[Dudier]

Ah ouais je vois, c'est beaucoup plus clair maintenant ^^ Merci pour les explications

[Ben314]

Salut,
Le résultat qui dit que "On peut factoriser (X-a) dans le polynôme P(X) si et seulement si P(a)=0" est extrêmement important et normalement, il est "entrevu" au niveau Lycée et perso, j'ai jamais compris pourquoi il n'est pas donné vu qu'il y a de multiples preuves dont certaines ne demandent aucune connaissance particulière.
En particulier, on peut facilement démontrer le résultat sans aucune référence à la notion de division polynomiale :

On peut déjà noter que le sens "si on peut factoriser (X-a) dans P(X) alors P(a)=0" est complètement évident et parfaitement connu dès le collège : zéro fois n'importe quoi est forcément égal à zéro. C'est donc l'autre implication qui demande un peu de réflexion (*).

Sauf qu'en fait, il y a un cas où l'équivalence (dans les deux sens) est totalement évidente, c'est celui où a=0 : Si on écrit P sous forme développé, alors P(0), c'est le terme constant de P est il est clair qu'on peut factoriser X dans P(X) si et seulement si le terme constant est nul.
Et ensuite, ben c'est pas bien compliqué de se ramener à ce cas là : si on cherche à savoir si on peut factoriser X-a dans P(X), ben il suffit de poser Y=X-a, (c'est à dire X=a+Y) et il suffit de regarder si on peut factoriser Y dans P(a+Y), c'est à dire regarder si, une fois développé, le terme constant de P(a+Y) est nul ou pas.
Or ce fameux terme constant, c'est jamais que la valeur du polynôme en Y=0 et donc c'est P(a).

(*) Bref, ça donne l'impression comme d'habitude qu'un truc qui ne demande qu'un peu de réflexion et pas d'apprendre par cœur de nouvelles notions/définitions, ça n'a absolument rien à faire dans les programmes et qu'il vaut bien mieux attendre que les élèves aient vu la définition d'une division polynomiale pour pouvoir faire une preuve ne demandant aucune réflexion (il suffit d'appliquer la règle générale de la division polynômiale au cas particulier des divisions par un polynôme de premier degré)