Suite de fonction convexe sont k-lipschitzienne

[MoonX]

Bonjour,

Soient a,b deux réels tels que a<b.
Soit une suite de fonction convexe de [a,b] dans simplement convergente vers f.
Montrer que pour tout , il existe un tel que, quelque soit n, est k-lipschitzienne sur .

Ce que j'ai fais :

On fixe au départ u,v tels que (u>v) .
Pour tout n:
L'inégalité des pentes permet d'obtenir, pour tout


Donc en posant est lispchitzienne.

Pour obtenir mon résultat, il suffit alors de montrer que :

existe.
Ce que je n'arrive pas à faire : je sais qu'il faudrait majorer les mais je n'y arrive pas (j'ai souvent du mal avec les preuves de borne supérieur...)

Je vous remercie par avance.

[aviateur]

Bonjour
Du fait de ton hypothèse ta suite k_n converge. Tu peux même écrire sa limite.
Une suite convergente est bornée. Donc il n' a pas de problème tu remplace k_n par cette borne supérieure.

[MoonX]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
Mais pour être bien sûr de comprendre, ce que vous dites c'est que par passage à la limite dans le max, on en déduit la limite et la convergence ? Parce que sinon, je ne vois pas immédiatement que est convergente (c'est sûrement évident mais je passe peut-être à côté)

[aviateur]

La suite (f_n) conv. simp. vers f. Cela veut dire que pour chaque x, f_n(x) cv vers f(x).
Tu appliques cela dans k_n, la suite k_n va converger vers un nombre \tilde{k} (que tu obtiens en remplaçant f_n par f dan k_n).
Maintenant c'est bien connu qu'une suite qui converge est bornée. En particulier elle est majorée. Soit donc k un majorant de la suite k_n (de préférence prendre k=sup k_n).....